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1、概率论,南京航空航天大学,目 录,概率论的基本概念 等可能概型(古典概型)条件概率 独立性 随机变量及其分布 随机变量的分布函数 随机变量的函数的分布 多维随机变量及其分布 两个r.v.的函数的分布 随机变量的数字特征 几种重要r.v.的数学期望及方差 矩、协方差矩阵 大数定律及中心极限定理,1.确定性现象和不确定性现象.,2.随机现象:在个别试验中其结果呈现出 不确定性,在大量重复试验中其结果又 具有统计规律性.,第一章 概率论的基本概念,前 言,3.概率与数理统计的广泛应用.,1.随机试验,举例:E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
2、E3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数.E4:抛一颗骰子，观察出现的点数.E5:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.E6:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命.,随机试验:(1)可在相同的条件下重复试验;(2)每次试验的结果不止一个,且能 事先明确所有可能的结果;(3)一次试验前不能确定会出现哪 个结果。,2.样本空间与随机事件,(一)样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间，记为S.样本空间的元素称为样本点，用e表示.,E2和E3同是抛一枚硬币三次，但试验的目的不一样，其样本空间也不一样.,(二)随机事件,样本空间S的子集称为随机事件，简称为事件。,样本空间,1.离散样
3、本空间:样本点为有限多个或 可列多个.,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域 内取值.,事件发生:在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。,基本事件:由一个样本点组成的单点集.,必然事件:样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,不可能事件：空集不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,（三）事件间的关系与事件的运算,1.包含关系和相等关系:,A,B,S,若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记作AB.若A B且A B,即A=B,则称A与B相等.,设A,B,C为任意三个事件,事件间的包含含关系有下列性质:(a)
4、AS;(b)AA(自反性);(c)若AB且BC,则AC(传递性);(d)若AB且BA,则A=B(反对称性).,B,A,S,2.和事件:,事件A B=x|x A 且 x B 称为A与B的积，即事件A与B同时发生.A B 可简记为AB.,类似地，事件 为可列个事件A1，A2，的积事件.,B,A,S,3.积事件：,事件A-B=x|xA且xB 称为A与B的差.当且仅当A发生,B不发生时事件A-B发生.,显然:A-A=,A-=A,A-S=,A,B,s,4.差事件:,基本事件是两两互不相容的,即样本点是 互不相容的,事件A与B-A是互不相容的.,A,B,5.事件的互不相容(互斥):,6.对立事件(逆事件)
5、：,S,A,B,(1)若A,B二事件互为对立事件,则A,B必互不相容,但反之不真.,(2)必然事件与不可能事件互为对立事件，,7.事件的运算律:,交换律:,结合律:,分配律：,对偶律:,3.频率与概率,(一)频率 1.在相同的条件下,共进行了n次试验,事 件A发生的次数记为nA,称为A的频数,nA/n 称为事件A发生的频率,记为fn(A).,频率的特性:波动性和稳定性.,说明(1)波动性:若试验次数n相同,不同时候试验其频率不同,当n较小时,fn(A)随机波动的幅度较大.(书P8),(2)稳定性:当n增大时，频率fn(A)的波动越来越小，呈现出一定的稳定性。,1.定义:设E是随机试验,S是样本
6、空间.对于E的每个事件A对应一个实数P(A),称为事件A的概率,如果集合函数P(.)满足下列条件:,(1)对任一事件A,有P(A)0;(非负性）,(2)P(S)=1;（规范性),(3)设A1,A2,是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2)=P(A1)+P(A2)+(可列可加性),(二)概率,由概率定义可以推出概率的一些重要性质：,一般地有:P(B-A)=P(B)-P(AB).,4.等可能概型(古典概型),等可能概型的两个特点:,(1)样本空间中的元素只有有限个;,(2)每个基本事件发生的可能性相同.,计算公式:,例1.将一枚硬币抛掷三次，A表示“恰有一次出现正面”B表示“至少有一次出现正面
7、”,求 P(A),P(B),抽样问题一只口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式:(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，这种取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况，求(1)取到的两只球都是白球的概率；(2)取到的两只球颜色相同的概率;(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,生日问题,假定每个人的生日在一年365天的任一天都等可能,随机选取n(小于365)人,他们至少有两个人生日相同的概率为:,29,超几何分布问题设有N件产品，其
8、中D件为次品，从中任取n件，求其中恰有k(k=D)件次品的概率。例：袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样，求第i(i=1,2,k)人取到白球(记为事件B)的概率(ka+b).,小概率事件问题某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是在周二和周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的?,实际推断原理:“小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的”.,5.条件概率,(一)条件概率:设试验E的样本空间为S,A,B是事件,要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率,这就是条件概率问题.,例1.将一枚硬币掷两次,观察其出现正反面的情况.设 A“至少有一次正
9、面”,B“两次掷出同一面”求：A发生的条件下B发生的概率.,在古典概型中，若P(A)0,1.定义:设A,B是两个事件,且P(A)0,称,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,2.性质:条件概率符合概率定义中的三个条件,即,此外,条件概率具有无条件概率类似性质.例如：,特别地，当A=S时,P（B|S）=P(B)，条件概率化为无条件概率，因此无条件概率可看成条件概率。,计算条件概率有两种方法:,我们一般采用(2)计算.,例1.,3只一等品,1只二等品,任取一只,不放回,再任取一只,A第一次取到的是 一等品,B第二次取到的是一等品,求P(B|A).,(二)乘法定理:,推广:P(AB)0,则有
10、 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A).,一般,设A1,A2,An是n个事件(n2),P(A1A2.An-1)0,则有乘法公式:,P(A1A2An)=P(An|A1A2An-1)P(An-1|A1A2An-2)P(A1)P(A2|A1),r只红球,t只白球,例2.,每次任取一只球观察颜色后放回,再加入a只同色球,在袋中连续取球4次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.,例3.透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为0.7,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9,试求:透镜落下三次而未打破的概率.,(三)全概率公式和贝叶斯公
11、式:,1.样本空间的划分,S,B1,B2,B3,.,Bn,(1)若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分,则每次试验中,事件B1,B2,Bn 中必有一个且仅有一个发生.,2.全概率公式:,A,B1,B2,B3,Bn,S,.,贝叶斯公式:,例4.某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的,数据如下:元件制造厂 次品率 提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05(1)任取一只晶体管,求它是次品的概率.(2)任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概率分别是多少?,例5 对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某一
12、故障时,其合格率为55%,每天早晨机器开动时机器调整良好的概率为95%,试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少?,1.定义:设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B是相互独立的事件。,由定义可知:,不可能事件、必然事件与任何事件都是相互独立的。,1.6 独立性,45,2.定义:设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A,B,C相互独立。,3.定理:设A,B是两事件,且P(A)0,则A,B相互独立
13、的充要条件是:P(B|A)=P(B).,相关结论:,例1.一个元件能正常工作的概率称为元件的可靠性。如下图，设有4个独立工作的元件1，2，3，4按先串联再并联的方式连接。设第i个元件的可靠性为，试求系统的可靠性。,1,2,3,4,例2.100件乐器,验收方案是从中任 取3件测试(相互独立的),3件测试后都认为音色纯则接收这批乐器,测试情况如下:经测试认为音色纯 认为音色不纯乐器音色纯 0.99 0.01乐器音色不纯 0.05 0.95,若100件乐器中恰有4件音色不纯,试问:这批乐器被接收的概率是多少?,第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量,例2.测试灯泡寿命试验,S=e=t|t0,样本
14、点本身是数量。,1.定义:设随机试验E的样本空间是S=e，若对于每一个eS,有一个实数X(e)与之对应,即X(e)是定义在S上的单值实函数，称为随机变量。（random variable,简记为r.v.),e,S,X(e),Rx,有了随机变量X,以前的各种随机事件均可用X的变化范围来表示:如例1中:,A=“正面朝上”,=X=1,C=“正面朝上或背面朝上”,=X=1或X=0=S,反过来,X的一个变化范围表示一个随机事件.,0X2,=“正面朝上”.,X0,=,-5X5,=S.,2.分类：,(2)可用随机变量X描述事件。,随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机
15、变量的取值有一定的统计规律性概率分布。,(1)离散型随机变量;,(2)连续型随机变量。,注:(1)任何随机试验都可以找到相应的随机变量，,2.2 离散型随机变量的概率分布,1.定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个,则称为离散型随机变量.,X x1 x2 xn pk p1 p2 pn.,例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯以概率p禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数,求X的分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的).,3.几种重要的离散型r.v.的分布律：,X 0 1 pk 1-p p 其中0p1,PX=k=pk(1-p)1-k,k=
16、0,1.,若某随机试验E只有两个(或相互对立的两类)可能的结果,只要将其中的一个(或一类)结果对应于数字1,另一个(或另一类)对应于数字0,于是就可用0-1分布的随机变量来描述有关的随机事件.,(一)0-1分布,(二)贝努利试验(二项分布),设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数,则X是一个随机变量,于是,称X服从参数为n,p的二项分布,记为Xb(n,p).,当n=1时,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为0-1分布.,例2.某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品,已知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查20只,求这20只元件中一级品只数X的分布律.,58,例3.某
17、人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。,例4.设有同类型设备80台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,设一台设备的故障由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障但不能及时维修的概率大小。,(三)泊松分布(Poisson),泊松分布有很多应用.通常用来刻画一段间隔中某类事件发生的次数,例如,一定时间间隔内电话交换台收到的呼唤次数，某一地区一个时间间隔内发生的交通事故数等都服从泊松分布.,(四)几何分布,进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p
18、,失败的概率为1-p=q(0p1),将试验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,则X的分布律为:,PX=k=qk-1p,k=1,2,称为X服从参数为p的几何分布.,例 设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为p,某人每次购买1张奖券,如果没有中奖下次继续再买1张,直到中奖为止,求购买次数X的分布律.,若该人共准备购买10次,共10元钱,即如果中奖就停止,否则下次再购买1张,直到10元共花完为止,求购买次数Y的分布律.,3 随机变量的分布函数,1.定义：设r.v.X,xR1,则 F(x)=P Xx 称为X的分布函数.,(1)P x1Xx2,=PX x2-PX x1,=F(x2)-F
19、(x1).,无论是离散型r.v.还是非离散型r.v.,分布函数都可以描述其统计规律性，但我们看到分布函数是一个普通函数。,2.性质:,(1)F(x)是单调不减函数.,x2x1,F(x2)F(x1),(2)0F(x)1,F(-)=0,F(+)=1.,(3)F(x)是右连续的,即 F(x+0)=F(x).,例1.离散型r.v.,已知其分布律可求出分布函数.X-1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求:X的分布函数,并求 P X1/2,P3/2X5/2.,4.连续型随机变量及其概率密度,则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数,简称概率密度.,连续型r.v.的分布函数是连续函数.,例1.
20、一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求X的分布函数.,例2.书P52,3.关于连续型r.v.的一个重要结论:,定理:设X为连续型r.v.它取任一指定的实数 值a的概率均为0.即PX=a=0.,4.几个常用的连续型r.v.分布,(一)均匀分布:,则称随机变量X在(a,b)上服从均匀分布,记作XU(a,b).,分布函数为:,(二)指数分布:,1.定义:,如果连续型随机变量X的概率密度为:,指数分布的无记忆性:,(三)正态分布:,性质:,如何计算?,通过标准正态分布计算其它一切正态分布的概率:,(2)标
21、准正态分布:,引理:,76,例:若XN(,),则X落入区间:-,+,-2,+2,-3,+3的概率为多少?,标准正态分布的上分位点:,z,(x),O,2.特例:,(1,)是参数为的指数分布.（=1）,3.伽玛函数的性质:,(i)(+1)=();,(ii)对于正整数n,(n+1)=n!;,(四)伽玛分布:,1.定义:,如果连续型随机变量X的概率密度为:,5.随机变量的函数的分布,一、X为离散型r.v.,例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4,1.离散r.v.分布函数的概率分布的求法:设X的概率分布如下表:X x1 x2 xk
22、PX=xi p1 p2 pk.,(1)记yi=g(xi)(i=1,2,)yi的值也是互不相同的,则Y的概率分布如下表:Y y1 y2 yk PY=yi)p1 p2 pk.,(2)若g(x1),g(x2),中不是互不相等的,则应将那些相等的值只写一次,但把各自所对应的概率相加,就得到了Y的概率分布律.,二、X为连续型r.v.,1.“分布函数法”:,(1)先求出Y的分布函数:FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXG,转化为关于X的事件,再利用X的分布函数表示.,(2)对y求导得到Y的概率密度:fY(y)=FY(y).,Y密度函数的分段考虑：（1）虽然X密度的分段，但不必一开始就对Y的 密度函数分段
23、（如例2）（2）若是因为g(x)的原因，则一开始就要对Y的 密度函数分段（如例3）,若f(x)在有限区间a,b以外等于零,则只需假设在a,b上g(x)严格单调,选取=min(g(a),g(b),=max(g(a),g(b).,2.定理:设X是连续型r.v.,具有概率密度f(x),设y=g(x)是x的严格单调函数,且反函数x=h(y)具有连续的导函数.当g(x)严格增加时,记=g(-),=g(+);当g(x)严格减少时,记=g(+),=g(-),则Y的概率密度为:,例5.r.v.XN(,2),证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布.,87,例6.(书P66 例5),第三章 多维随机变
24、量及其分布,1 二维随机变量,1.二维r.v.定义:设E是一个随机试验,样本空间是 S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v.,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维r.v.,注:二维r.v.(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,而且还 依赖于这两个r.v.的相互关系.,如何描述二维r.v.(X,Y)的统计规律?,2.二维r.v.(联合)分布函数:,3.下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.,(一)二维离散型r.v.,例1.设r.v.X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在1X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.,(二)二维连续型r.v.,2.边缘分布,一
25、、边缘分布函数：,二、边缘分布律：,若已知联合分布律,例1(续),Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 pi,X,三、边缘概率密度:,注:由二维随机变量(X,Y)的概率分布(X,Y)的联合分布可唯一地确定X和Y的边缘分布,反之,若已知X,Y的边缘分布,并不一定能确定它们的联合分布.,3.条件分布,一、二维离散型r.v.的情况:,例1.设(X,Y)的分布律为:X 5 7 13 18 20 1 0.08 0.01 0 0.02 0.14 2 0.11 0.10 0.09 0.0
26、1 0.04 3 0.03 0.07 0.15 0.06 0.09求在X=2时Y的条件分布律.,Y,例2 一射击手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止,设以X表示首次击中目标进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律和条件分布律.,二、二维连续型r.v.,首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.,例3.设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0 x1)时,数Y在区间(x,1)上随机地取值,求Y的概率密度.,4.相互独立的随机变量,1.定义:,2.等价定义:,任何常数与随机变量都相互独立。,3.命题：设(X,Y)服从二维正态分布,
27、则X,Y相互独立的充要条件是=0。,5.两个r.v.的函数的分布,(一)和(Z=X+Y)的分布:,已知(X,Y)的联合密度是f(x,y),求Z=X+Y的分布密度.,例1.设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.,结论:,109,110,(二)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:,设X,Y相互独立,分布函数分别为FX(x)和FY(y).求M=max(X,Y)的分布,推广:设X1,X2,Xn相互独立,分布函数分别为F1(x),F2(x),Fn(x),则M=max(X1,X2,Xn)的分布函数为 FM(z)=F1(z)F2(z)Fn(z)N=min(X1,X2
28、,Xn)的分布函数为 FN(z)=1-(1-F1(z)(1-F2(z)(1-Fn(z),特别地,当X1,X2,Xn 独立同分布时,设分布函数为F(x),则 FM(z)=(F(z)n,FN(z)=1-(1-F(z)n.,例3.(课本P100例4),(三)离散型r.v.的函数的分布:,例 设X,Y是相互独立,分别服从参数为1,2的泊松分布,试证明Z=X+Y服从参数为1+2泊松分布.,第四章 随机变量的数字特征,1.随机变量的数学期望,117,例1.甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2,它们的分布律分别为:X1 0 1 2 X2 0 1 2pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0
29、.1试评定他们的成绩好坏.,例2（书P111）.,3.随机变量函数的数学期望公式:,说明:1.我们求E(Y)时不必知道Y的分布,只需知道X的分布就可以了.,2.上述定理可以推广到多维r.v.函数.,4.均值的性质:,(1)E(c)=c;(c为常数),说明:i.性质(3)和(4)可以推广到有限个r.v.(X1,X2,Xn)的情况.,(2)E(cX)=cE(X);(c为常数),(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4)设X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y);,(5)|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(柯西-许瓦兹不等式),ii.对于“和”,不要求X1,X2,Xn相互独立;对于“
30、积”要求X1,X2,Xn相互独立.,2.方 差,方差描述了r.v.对其数学期望的离散程度。,思考：分别就X为离散型r.v.和连续型r.v.推导其方差D(X)的计算公式,定义：,常用的计算公式：,二、方差的性质及切比雪夫不等式：,1.性质:,10 设C是常数,则D(C)=0;,20 设X是r.v.,C是常数,则有 D(CX)=C2D(X);,30 设X,Y是两个随机变量,则有 D(X Y)=D(X)+D(Y)2E(X-EX)(Y-EY);,40 D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,即 PX=C=1.,2.切比雪夫不等式:,3.几种重要r.v.的数学期望及方差,1.一些常用的离散型r.v.
31、的均值及方差:,10 0-1分布:(参见例1).,2.一些常用的连续型r.v.的均值及方差:,4.协方差和相关系数,(i)Cov(X,X)=D(X).,(ii)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,(iii)对于任意两个和Y,有 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).,(二)协方差的性质:,10 Cov(X,Y)=Cov(Y,X);,20 Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),其 中a1,a2,b1,b2是常数;,30 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);,40 若X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=0,即不相关.
32、,定理说明了相关系数XY刻划了X,Y之间的线性相关关系,当XY=0时,我们称X,Y不相关.(这里是指它们之间没有线性相关关系.),例1.设(X,Y)服从二维正态分布,求X和Y的相关系数（书P132）.,5.矩、协方差矩阵,一.定义:设X和Y是随机变量,(1)若E(Xk),k=1,2,存在,则称它为X的k阶原点矩.,(2)若EX-E(X)k,k=1,2,存在,则称它为X的k阶中心矩.,(3)若EXkYl,k,l=1,2,存在,则称它为X和Y的k+l阶混合(原点)矩.,(4)若EX-E(X)kY-E(Y)l,k,l=1,2,存在,则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.,三.协方差阵的性质:,10 C
33、是对称的;(由协方差的性质Cov(X,Y)=Cov(Y,X),ij=ji可得),20 ii=D(Xi),i=1,2,3,n.,30 ij2 ii jj,i,j=1,2,n.(由许瓦兹不等 式可得),40 C是非负定的,即对任意的n维向量 a=(a1,a2,an)T,都有aTCa0.,|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式),四.n维正态变量:,2.性质:,10 n维r.v.(X1,X2,Xn)服从n维正态分布的的充要条件是X1,X2,Xn的任一线性组合 l1X1+l2X2+ln Xn服从一维正态分布.,20若(X1,X2,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,Yn是Xj(j=1
34、,2,n)的线性函数,则(Y1,Y2,Yn)也服从多维正态分布.,30 若(X1,X2,Xn)服从n维正态分布,则“X1,X2,Xn”相互独立与“X1,X2,Xn”两两 不相关是等价的.,第五章 大数定律及中心极限定理,1.大数定律,一依概率收敛定义:,性质:,二、切比雪夫大数定律:,设X1,X2,Xn,是由两两互不相关的 r.v.所构成的序列,每一个r.v.都有有限的方差,并且它们有公共的上界.,三、定理:(切比雪夫大数定律的特殊情况),设1,X2,Xn,相互独立,且具有相同的数学期望和方差:,三.贝努利定理:,设nA是n次独立重复试验中A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则,贝
35、努利定理说明,事件A发生的频率nA/n依概率收敛到事件A发生的概率p,这就以严格的数学形式表达了频率的稳定性,就是说,当n很大时,事件A发生的频率与概率有较大的差别的可能性很小,因而在实际中便可以用频率来代替概率.,四.辛钦定理:,设 r.v.X1,X2,Xn,相互独立,服从同一分布,且具数学期望,2.中心极限定理,一.独立同分布的中心极限定理:,设 r.v.Xk(k=1,2,)相互独立,服从同一分布(i.i.d.)且具有有限的数学期望和方差:,二.李雅普诺夫定理:,三.德莫佛-拉普拉斯定理:,例2.一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪的冲击,纵摇角大于30的概率p=1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有2950030500次纵摇角大于30概率是多少?,例3.工人装配某种零件，装配一个需要2分钟，若装配不合格要重新装配，则要再花2分钟，假定第二次装配一定能装配好。设每个零件需要重新装配的概率为0.3，工人每天工作8小时，任务是装配180个零件，求工人每天不能完成任务的概率的近似值?,
