计算声学第五章插值法.ppt

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1、第五章 插值法,在实际科学计算中常会出现这样的情况，由于函数的解析表达式过于复杂不便计算，但是需要计算多个点处的函数值；或者函数的解析表达式 未知，仅知道它在区间 内n+1个互异点 处对应的函数值，需要构造一个简单函数 作为函数 的近似表达式，使得这类问题称为插值问题，称为插值函数。如果插值函数类 是代数多项式，则相应的插值问题称为代数插值；如果 是三角多项式，则相应插值问题称为三角插值。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,代数插值定义：设 在区间 上有定义，且在 上的n+1个不同点 的函数值为，如果存在一个代数多项式，其中 为实数，使得成立，则称 为函数 的插值多项式，点称为插值节点，包

2、含插值节点的区间 称为插值区间，关系式 称为插值条件。求插值多项式的问题称为代数插值问题。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,几何意义：,1 拉格朗日（Lagrange）插值,几何意义为通过n+1个点 做一条代数曲线，使其近似于曲线，利用 上的点近似代替 上的点。（用于对函数的离散数据建立简单的数学模型）余项：在区间 上用 近似，除了在插值节点处 外，在区间其余点处一般都有误差。令，则 称为插值多项式的余项，它表示用 近似 时产生的截断误差。一般情况下，越小，近似程度越好。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,定理：在n+1个互异节点 上满足插值条件的次数不高于n次的插值多项式 存在且唯

3、一。证明：如果插值多项式 的系数 可以被唯一确定，则该多项式存在并且唯一。由插值条件，插值多项式中的系数 满足n+1阶线性方程组,1 拉格朗日（Lagrange）插值,方程组中未知量 的系数行列式为范德蒙行列式因为插值点互不相同，即，所以，方程组有唯一解，即插值多项式存在并且唯一。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,线性插值,1 拉格朗日（Lagrange）插值,定义：设函数 在区间 端点的值分别为，用线性函数 来近似代替，确定参数，使则称线性函数 为 的线性插值函数。几何意义：如图所示，利用通过两点 和 的直线 去近似代替曲线。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,由直线方程的两点式方

4、程可求得 的表达式为：记则 都为 的一次函数，并且具有下列性质我们把具有这种性质的函数 称为线性插值基函数。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,线性插值函数 用基函数可以表示为上式说明，任何一个满足插值条件的线性插值函数都可由线性插值基函数 的一个线性组合来表示。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,定理：设 在区间 上连续，在 内存在，是满足插值条件 的插值多项式，则对任何，插值余项（截断误差）为其中，且依赖于。如果，则截断误差限是,1 拉格朗日（Lagrange）插值,抛物线插值,1 拉格朗日（Lagrange）插值,设已知 在三个不同点 上的值分别为，做一个二次插值多项式，使其满足

5、插值条件由于通过不在同一直线上的三点可做一条抛物线，所以称二次插值多项式 为 的抛物线插值函数。设二次插值多项式为（插值基函数的线性组合）,1 拉格朗日（Lagrange）插值,其中 都是二次多项式，且满足已知，即 是 的两个零点，所以设其中 为待定常数。由 得到所以,1 拉格朗日（Lagrange）插值,同样求得所以上式又称为 的二次拉格朗日插值多项式。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,截断误差与截断误差限 如果 在区间 上连续，在 内存在，则用 去近似 的截断误差为其中，并且依赖于。如果，则截断误差限为,1 拉格朗日（Lagrange）插值,例：设，试分别应用线性插值和抛物线插值公式

6、计算 的近似值（13.2287565553）。解：取，则对应的以 为节点做线性插值以 为节点做抛物线插值,1 拉格朗日（Lagrange）插值,由 得到，所以,1 拉格朗日（Lagrange）插值,拉格朗日插值多项式 设函数 在节点 处的函数值为，做一个n次插值多项式，并使 在节点处满足则n次插值基函数，就是在n+1个节点 上满足条件的n次多项式。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,经过推导得出n次插值基函数显然 满足插值条件，所以上面插值多项式就称为n次拉格朗日插值多项式。当 时，分别为线性插值多项式和二次插值多项式。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,罗尔定理：如果函数 在 上连续

7、，内可导，并且，则至少存在一点，使得。截断误差：如果 在区间 上连续，在内存在，是n+1个节点，则用 去近似所产生的截断误差为其中 且依赖于，。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,证明：由插值条件 可以得到，即n+1个节点是 的零点，所以设其中 是与 有关的待定函数。为了求得，对区间 上异于 的任意一点，作辅助函数,1 拉格朗日（Lagrange）插值,将 看作是异于节点的一个固定点，则上式 满足（1），即 在上有n+2个零点，分别为；（2）在 内具有n+1阶导数，并且有由罗尔定理，在 的两个零点之间至少存在一个 的零点，所以 在 内至少有n+1个互异的零点。,1 拉格朗日（Lagrang

8、e）插值,反复应用罗尔定理，最后可以得到 在 内至少有一个零点，即所以由此得到,1 拉格朗日（Lagrange）插值,由于余项中含有因式如果插值点 偏离插值节点 比较远，则插值误差会比较大。如果插值点 位于插值区间内，插值过程称为内插，否则称为外推。根据余项定理，外推是不可靠的。另外余项公式中有高阶导数项，就要求 足够光滑否则误差可能会比较大。代数多项式是任意光滑的，原则上只适用于逼近光滑性好的函数。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,例：已知 在点 的值由下表给出。试分别用线性插值与二次插值计算 的近似值，并进行误差估计。解：取 代入线性插值公式得,1 拉格朗日（Lagrange）插值,

9、取 代入二次插值公式得误差估计：,课后题：1、当时，求 的二次插值多项式。2、已知函数 的观察值如下：试求其拉格朗日插值多项式。,1 拉格朗日（Lagrange）插值,2 分段低次插值,高次插值中的问题 一般来说，适当提高插值多项式的次数，会提高插值结果的准确程度。但是，提高插值多项式的次数，插值多项式会变得复杂，计算量加大。并且高次插值多项式往往具有数值不稳定的缺点，会产生高次插值不准确的龙格现象。所以当插值节点数n+1较大，特别是插值区间也较大时，通常不采用高次插值，而采用分段低次插值。常用的有分段线性插值和分段抛物线插值。分段低次插值的优点是公式简单，计算量小，且有较好的收敛性和稳定性，

10、并且避免了计算机上作高次乘幂时常遇到的上溢和下溢。,2 分段低次插值,原因：(1)由拉格朗日插值多项式余项，当差值节点增加时，的变化可能会很大，那么 可能很大；特别是当插值节点比较分散、插值区间较大时，也比较大，这样就造成了近似时的截断误差较大；(2)当n增大时，拉格朗日插值多项式次数增加，计算量急剧增大，这样就加大了计算过程中的舍入误差。,2 分段低次插值,分段线性插值设在区间 上有节点，函数在上述节点处的函数值为，连接相邻两点，得到一条折线函数，如果满足：（1）在区间 上连续；（2）；（3）在每个子区间 上是线性函数，则称折线函数 为分段线性插值函数。,2 分段低次插值,在每个子区间 上可

11、以表示为从几何上讲，分段线性插值就是用一条过n+1个点 的折线来近似表示。在整个区间上用基函数来表示可以写为,2 分段低次插值,分段抛物线插值分段抛物线插值就是把区间 分成若干个子区间，在每个子区间 上用抛物线去近似曲线，则用 表示分段抛物线插值函数 有下列性质：(1)在区间 上是连续函数；(2)；(3)在每个子区间上，是次数不超过二次的多项式,2 分段低次插值,插值点选择：选择插值点的原则是尽可能在插值点的邻近。公式中i的取法归结为,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,拉格朗日插值法有一个缺点，当有了新的数据，插值节点增加时，插值多项式需要重新构造和计算，之前的计算结果无法继续利用。从

12、构造算法的一般原则来说，应设法充分利用已经获得和计算的数据信息。为了克服拉格朗日插值法的缺点，介绍牛顿插值多项式。它使用比较灵活，增加插值节点时，只是在原来的基础上增加部分计算量，原来的计算结果仍可继续利用，节约了计算时间。,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,差商的定义 已知函数 在n+1互异节点 处的函数值分别为，称为 关于节点 的一阶差商（平均变化率）。称为 关于节点 的二阶差商。,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,一般地，称为 关于节点 的 阶差商。当 时称 为 关于节点 的零阶差商，记为由于所以即差商是微商的离散形式。,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,差商性质

13、：（1）函数 关于节点 的k阶差商可以表示为函数值 的线性组合，即式中，如果，则其在 的导数为,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,（2）差商与其所含节点的排列次序无关，即一般地，在k阶差商 中，任意调换节点的次序，其值不变。（3）设 在包含互异节点 的闭区间 上有n阶导数，则n阶差商与n阶导数之间有如下关系,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,差商计算：利用插商的递推定义，差商的计算可列表计算，如下表所示,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,牛顿插值多项式由高等代数理论可知，任何一个不高于n次的多项式，都可以表示成函数的线性组合。所以满足插值条件的拉格朗日插值多项式又可以表

14、示为式中 为待定系数。称这种n次插值多项式为牛顿（Newton）插值多项式，记作，即,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,由于 满足插值条件，即，所以由，得同样可以求出其他系数。,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,有 是n+1个节点，对于一般情况，设，则由差商定义,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,得到,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,将上式中第二式代入第一式式，得到式中可知 是满足插值条件的线性插值多项式。而为线性插值的余项。,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,同样，将第三式代入 得到式中是满足插值条件的二次插值多项式。而为二次插值的余项。,3 差商与

15、牛顿（Newton）插值多项式,类似地将各式依次代入前式，最后可以得到其中为满足插值条件的n次插值多项式，通常称其为n次牛顿插值多项式。,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,与 相比较，有而为牛顿型插值余项。,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,由于满足插值条件的插值多项式存在且唯一，所以有如果 在 上有n+1阶导数，则有即,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,容易看出，牛顿插值多项式具有递推性，即记 为具有节点 的牛顿插值多项式，则具有节点的牛顿插值多项式 为上式说明，增加一个节点，只要在 的基础上，增加计算即可。,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,例：已知一组观察

16、数据如表，构造3次牛顿插值多项式。解：首先计算差商,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,将计算得到的差商代入公式得到整理得到,例：给出 的函数表求四次牛顿插值多项式，由此求 并估计误差。解：选取最接近0.596的前5个节点，首先构造差商表,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,当函数 的表达式未知或函数 的高阶导数比较复杂时，常用牛顿插值多项式余项但由于公式中的n+1阶差商 的值与 的值有关，因此不能准确计算，只能对其做出一种估计。,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,当n+1阶差商变化不剧烈时，可用 近似代替，即采用此法计算 的误差，

17、则有截断误差很小，可用忽略不计。,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,例：某处海洋不同深度水温如下表所示，试用牛顿插值公式求深度1000米处的水温，并估计误差。解：计算差商,水深,温度,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,用三次牛顿插值多项式 近似代替，得到,7、用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点的三次插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。8、利用函数表造出差商表，并利用牛顿插值公式计算 在处的近似值（计算取5位小数）。,3 差商与牛顿（Newton）插值多项式,4 差分与等距节点插值公式,在实际应用中，常采用等距节点进行插值计算，这时插值公

18、式可以进一步简化。由于插值节点等距分布，被插值函数的平均变化率与自变量的区间无关，差商可用差分代替。设被插值函数 在等距节点上的值 已知，其中 称为步长，则分别称为被插值函数 在 处以 为步长的向前差分和向后差分，符号 分别称为向前差分算子和向后差分算子。,4 差分与等距节点插值公式,高阶差分通过对低阶差分求差分来定义，如二阶差分为 阶差分为,4 差分与等距节点插值公式,差分性质：1.差分可用函数值线性表示为式中组合表达式为2.差分与差商满足下述关系,4 差分与等距节点插值公式,3.差分与导数满足关系差分计算表格,4 差分与等距节点插值公式,例：已知 的函数表，计算当 时的差分表。,4 差分与

19、等距节点插值公式,等距节点插值多项式及其余项把牛顿插值多项式中的差商用相应的差分代替，就可以得到等距节点插值公式。设给定等距节点，根据，在牛顿插值多项式中把差商用差分代替，得到,4 差分与等距节点插值公式,令，其中，则有称为牛顿向前插值多项式。相应的插值余项为在具体进行计算时，首先计算差分表，然后求出，根据公式计算相应插值。牛顿向前插值公式适用于计算 附近的函数值。,4 差分与等距节点插值公式,当需要计算接近 处的函数插值时，采用牛顿向后插值多项式进行计算。为了利用向前差分表计算，根据向前差分和向后差分的关系，把牛顿向后插值公式改写为,4 差分与等距节点插值公式,牛顿向后插值公式的余项为,4 差分与等距节点插值公式,例题：已知等距节点及相应点上的函数值如表所示，求和 的值。解：计算向前差分表已知，当 时,4 差分与等距节点插值公式,把差分值和 带入牛顿向前插值公式得当时，把相应差分值和 带入牛顿向后插值公式得,11、已知数表试分别作出三次牛顿前插和牛顿后插公式并分别计算和 时函数的近似值（计算取3位小数）。,4 差分与等距节点插值公式,