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1、,概率论与数理统计,概率论的产生和发展,-“赌博起家”的理论,17世纪中叶，保险业的发展提出了一系列随机性问题,赌徒问题：1654年，一赌徒问帕斯卡：若约定先赢C局者胜，当甲、乙两人各赢 a、b 局时（a、b C），如何分赌本？,帕斯卡与费尔玛经通信研究回答了该问题，并进一步提出了数学期望这一重要概念,三年后，惠更斯写出了论机会游戏的计算 最早的概率论著作,概率论的产生和发展,在古典向近代的转变过程中，Laplace的分析概 率论(1812)给出了概率的明确定义；证明了De MoivreLaplace定理；建立了误差观察理论与最小二乘法；系统阐述了概率论的一些基本理论。,近几十年发展迅猛，出现
2、了很多以概率论为基础的 学科，如信息论、控制论、博弈论,其后，贝努利、雅可比、棣莫弗 贡献突出,第一章 随机事件与概率,第一节 随机实验,（1）掷一枚硬币1万次,正面向上的可能性如何描述呢?是不是有一定的规律呢？,（2）什么是随机试验?它和我们平常说的实验有什么不同？要求的条件是什么?,一、问题提出,（一）两类现象确定性现象与随机现象,先从实例来分析自然界和社会活动中存在着两类不同的现象.,例1 在一个标准大气压力下,水加热到100就沸腾.,例2 向上抛掷10次五分硬币,硬币往下掉.,例3 同性电荷相斥,异性电荷相吸.,例1、例2、例3是在一定条件下必然发生的现象,二、问题分析,我们把这种在保
3、持条件不变的情况下,进行重复试验或观察,其结果总是确定的现象称为确定性现象或必然现象.,例4是在一定条件下必然不可能发生的现象,例4 在一个标准大气压力下,20的水结冰.,另外,在我们所生活的世界上还充满了不确定性.,例5 用大炮轰击某一确定目标,其结果可能是击中目标,也可能击不中目标.,例6 在相同条件下,抛一枚质地均匀的硬币,其结果可能正面向上,也可能反面向上.,例7 在合格品率为98%的产品中任取一件产品,取到的可能是合格品,也可能是不合格品.,对于例5例7所表述的现象进行归纳分析,可以看出：发生的结果预先可知但事先又不能完全确定.我们把这种在保持条件不变的情况下,重复试验或观察,可能出
4、现这种结果,也可能出现那种结果的现象称为随机现象.,对于随机现象,人们经过长期地观察或进行大量的试验,分析表明：这些发生结果并非是杂乱无章的,而是有规律可寻的.,在大量地重复试验或观察中所呈现出的固有规律性,就是我们所说的统计规律性.而概率论与数理统计正是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科.,概率论与数理统计的关系 概率论是数理统计的理论基础.由于随机现象的普遍性,使得概率论与数理统计具有极其广泛的应用.例如,使用概率统计的方法可以进行天气预报、地震预报以及产品抽样检验等.另一方面,广泛的应用也促进了概率论与数理统计的极大发展.,(二)随机试验,在一定条件下,对自然现象和社会现象进行的
5、实验或观察常常称为试验,常用E表示.,例8 E1:将质地均匀的一枚硬币投掷一 次,观察正面或反面朝上的情况.,例9 E2:掷一颗质地均匀的骰子,观察出现的点数.,例10 E3:在一批灯泡中任意抽取一只,测试其寿命.,上述试验均具有以下三个特点：,(1)试验可以在相同条件下重复进行;,（2）试验的所有可能结果是事先明确可知 的,并且不止一个;,（3）每次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,我们把具有上述三个特点的试验,称为随机试验,也简称为试验.,随机试验是一个含义较广的术语,它包括对随机现象进行观察、测量、记录或进行科学实验等.我们以后提到的试验都是指随机试验.,(一)随机试验,什么是随机试验
6、?要求的条件是什么?,三、内容小结,（1）试验可以在相同条件下重复进行;,（2）试验的所有可能结果是事先明确可知的,并且不止一个;,（3）每次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,四、习题布置,P2 1、2.,第一章 随机事件与概率第二节 样本空间及随机事件,内容简介:分析了随机试验发生后产生的结果,借助于集合论的有关概念和方法,通过将日常语言与数学符号建立的对应关系,建立了样本空间、随机事件、和事件、积事件、差事件、对立事件、互斥事件及其运算性质的理论体系.,第一章 随机事件与概率第二节 样本空间及随机事件,一、提出问题,1.随机试验的结果可知但不确定，怎样来研究它？我们所关心某个或某些结果是
7、否会出现？出现的可能性的大小？,二、预备知识,1.集合与元素，全集，空集.,2.集合运算及其运算性质.,2.试验结果复杂多样，如何研究他们之间的关系？,三、分析问题,对于随机试验,人们感兴趣的是试验结果,即每次随机试验后所发生的结果.,将随机试验的每一个可能的结果称为随机试验的一个样本点,通常记作.,将随机试验E的所有样本点组成的集合叫做试验E的样本空间,通常用字母S表示.由一个样本点组成的单点集叫做基本事件.,(一)样本空间与随机事件,例1 E1:将质地均匀的一枚硬币投掷一次,观察正面或反面朝上的情况.,“正面朝上”和“反面朝上”是E1的样本点,所以样本空间可简记为S=正,反.,例2 E2:
8、掷一颗质地均匀的骰子,观察出现的点数.,“出现i点”(i=1,2,6)是E2的样本点,所以样本空间可简记为S=1,2,6.,例3 E3:在一批灯泡中任意抽取一只,测试其寿命.,“测得灯泡寿命为t小时(0t+)”是E3的样本点,所以样本空间可表示为S=t|0t+.,例4 E4:一袋中装有红白两种颜色的10只乒乓球,从袋中任意抽取1只球,观察其颜色.,令1=“取得红球”,2=“取得白球”,则样本空间S=1,2.,例5 E5:将质地均匀的一枚硬币投掷两次,观察正面或反面朝上的情况.,试验E5的全部样本点是：(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).其中(正,正)表示“掷第一次硬币正面朝上,掷第
9、二次硬币正面朝上”,依此类推.则样本空间S=(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).,从上面例1例5可以看到,样本空间可以是有限集或无限集,可以是一维点集或多维点集,可以是离散点集亦可以是欧氏空间的某个区域.有时候,为了数学处理方便,还可以把样本空间作相应扩大.例如,在例3中可以取S=0,+),若有必要,甚至可以取成(-,+).,人们常用数字或者符号来表示具有实际 意义的试验结果.,例6(Ex.)写出下列随机试验的样本空间：,生产产品直到有10件正品,记录生产产品的总件数;(2)将一只一尺长的尺子折成3段,观察各段长度；(3)对某工厂的产品进行检查,如连续查出2个次品或检查4个产品后就
10、停止检查,记录检查结果.,在实际问题中,人们常常需要研究由样本空间中满足某些条件的样本点组成的集合,即关心于满足某些条件的样本点在试验后是否会出现.例如,在汛期,水文站关心的是江河水位是否达到或超过警戒水位H0;抽查产品时检验人员关心的是产品某些方面指标是否达到合格标准,等等.,我们称样本空间S中满足某些条件的样本点构成的子集为随机事件,简称事件.通常用A,B,C,表示.若试验后的结果A,则称事件A发生,否则称A不发生.,讲评:必然事件和不可能事件所反映的现象是确定性现象,并不具有“随机性”,为了研究问题的方便,我们把它们分别看作一种特殊的“随机事件”.,例如,在例2中,设A表示掷一枚骰子,出
11、现的点数6,则A=S是必然事件；设B表示出现8点,则B是空子集,因而是不可能事件;设C表示出现偶数点,则C=2,4,6,若实际掷出“2点”,我们便说事件C发生了;设D表示出现2点,则D=2是基本事件.,(二)随机事件与集合的对应,例7 E6:一盒子中装有标号为1到10的10只球.从盒中任意抽取1只球,观察其点数.,全部基本事件是：抽到1号球,抽到2号球,抽到3号球,抽到10号球.,样本空间S=1号球,2号球,10号球,通常简记为S=1,2,10.,随机事件A=抽到偶数号球由5个基本事件抽到2号球,抽到4号球,抽到6号球,抽到8号球,抽到10号球组成,记为A=2,4,6,8,10.,随机事件B=
12、抽到不大于6的偶数号球由3个基本事件抽到2号球,抽到4号球,抽到6号球组成.通常也简明地表示成B=2,4,6.,随机事件C=抽到奇数号球=1,3,5,7,9.,随机事件D=抽到球号数不大于4=1,2,3,4.,如果我们现在抽到6号球,则说事件A发生,事件B发生.但是,事件C和D不发生.,将不能再细分的试验基本结果看作样本点;而样本点看作集合的元素；,全部基本结果构成样本空间;而样本空间看作全集；,将随机事件表示成由样本点组成的集合;或者说，看作全集的子集；,基本事件是由一个样本点组成的单元集;,必然事件看作全集,不可能事件看作空集；,将样本点(元素)属于集合表示事件发生,这样的处理方法,不仅对
13、研究事件的关系和运算是方便的,而且对研究随机事件发 生的可能性大小的数量指标 概率的运算也是非常科学合理的.,就可以将事件间的关系和运算归结为集合之间的关系和运算.,(一)事件之间的关系与运算,在一个样本空间S中,可以包含许多的随机事件.研究随机事件的规律,往往是通过对简单事件规律的研究去发现更为复杂事件的规律.,为此,我们引进事件之间的一些重要关系和运算.由于任一随机事件是样本空间的子集,所以事件之间的关系及运算与集合之间的关系及运算是完全类似的.,四、建立理论,平面矩形区域表示样本空间S,平面区域A表示事件A.,文氏图(Venn diagram),设试验E的样本空间为S,A1,A2,Ak(
14、k=1,2,)是S的一些事件,它们都是S的子集.,与集合论类似,我们习惯地用文氏图形像地描述事件间的关系.,若“事件A发生必然导致事件B发生”,亦即A的样本点都是B的样本点,则称A包含于B或B包含A,也称A是B的子事件.,B,S,(1)事件的包含与相等,则称事件A与事件B相等,记做,A=B等价于它们是由相同的样本点构成的.,注意 对任一事件A,都有子事件关系,记做,“事件A与事件B至少有一个发生”的事件 叫做A与B的和事件.,的和事件,的和事件,(2)事件的和(并),可见,AB是由所有包含在A中的或包含在B中的样本点构成.,“事件A与事件B 同时发生”，这样的事件称为A与B的积事件.,的积事件
15、,(3)事件的交(积),AB由既包含在A中又包含在B中的样本点构成.,的积事件,“事件A发生但事件B不发生”，这样的事件称为A与B的差事件.,（4）事件的差,记为AB.,A-B是由所有包含在A中而不包含在B中的样本点构成.,例如,若A=2,4,6,8,10,B=1,2,3,4,则A-B=6,8,10,B-A=1,3.,A与B互斥,A、B不可能同时发生.,两两互斥,两两互斥,(5)事件的互不相容(互斥),A与B互相对立,称B为A的对立事件(or逆事件)，记为,注意“A与B 互相对立”与“A与B 互斥”是不同的概念.,(6)对立事件(逆事件),每次试验，A，B中有且只有一个发生.,(7)完备事件组
16、,或称 为S的一个划分(或剖分).,若 两两互斥,且,则称 为完备事件组.,讲评 完备事件组A1,A2,An概念说明:在每次试验中,事件A1,A2,An中有一个发生,并且只有一个发生.建立这个概念的目的是,把错综复杂的关系分解成彼此没有影响的各种基本因素之和.概念的关键是:事件交为不可能事件，同时，事件和为必然事件.,有限样本空间的所有基本事件构成一个完备事件组,即是样本空间的一个划分.,(二)事件运算法则,对应,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,B,C,A,A,C,B,分配律 图 示,A,讲评 对偶律通常叫做德摩根律.在一起处理关于和事件、积事件和对立事件三种关系时经常会使用到.,五
17、、理论应用,(4)互反律,(5)对偶律,例8 掷一颗骰子的试验,观察出现的点数.事件A表示出现奇数点,B表示出现点数小于5,C表示出现小于5的偶数点.用集合的列举法表示下列事件：S,A,B,C,AB,A-B,AB,AC,解,S=1,2,3,4,5,6,B=1,2,3,4,A=1,3,5,C=2,4,AB=1,2,3,4,5,A-B=5,AB=1,3,=1,2,3,4,6.,AC=,讲评 在概念上,此题考查各事件的关系运算.在方法上,将文字表述转为数学符号，将有关问题数字化或数学化.,例9 设A,B,C是三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件：(1)B,C都发生,而A不发生；(2)A,B,
18、C中至少有一个发生；(3)A,B,C中恰有一个发生；(4)A,B,C中恰有两个发生；(5)A,B,C中不多于一个发生；(6)A,B,C中不多于两个发生.,ABC,或,讲评 本例旨在在基本概念方面考查事件的文字表述与数学符号描写的对应关系.,(2)A1A2A3表示三次射击中全部击中目标；,(3)表示第三次射击未击中目标；,(6),表示前两次射击中至少有一次未击中目标.,讲评 在基本概念方面应考虑数学符号的文字表述含义.,(5),表示后两次射击均未击中目标；,表示第二次射击击中目标 而第三次射击未击中目标；,(4)A2-A3=A2,例11(Ex.)设A、B、C为三个事件，用A、B、C表示下列事件：
19、,(1)A出现,B、C不出现；(2)三个事件都出现；(3)三个事件至少有一个出现；(4)不多于一个事件出现；(5)A,B至少发生一个,C不出现；(6)恰好有二个事件出现.,例12(Ex.)同时掷两个骰子，记事件A为“两骰子点数和为奇数”；事件B 为“两骰子点数差为零”；事件 C为“两骰子点数的积不超过20”。,六、内容小结,本节课介绍了随机试验、随机事件、样本空间等概念.,在讲解顺序上,按照“提出问题分析题建立理论”的研究思路展开：首先,我们看到了客观存在的两类现象确定性现象和随机现象,分析了随机现象出现的试验结果,把基本的试验结果定义为样本点,由一个样本点组成的单元素集合叫做基本事件,为进一
20、步研究问题,我们定义了和事件、差事件、积事件、对立事件等概念.,在教学方法方面,通过把随机事件看作“集合”,就可以用我们比较熟悉的集合论的知识来研究随机事件.这就是我们称为“映射反演”的研究问题的科学方法.这种分析问题、解决问题的处理方法,希望大家要熟悉,并在今后学习中注意积累.还有,当正面分析问题有困难时,常常考虑这个问题的反面“对立事件”,这种思维方式在今后学习时要经常用到.另外,把事件的各种关系用几何图形来记忆和理解,也是我们学习中经常使用的分析问题的一种办法.,思考问题：由事件间的关系与运算,一个复合事件的表示方式是否唯一?如何分解更为有用？考虑B=AB(BA),且有 AB(BA)=；对任意事件A,B,成立关系：AB=A(BAB)(参见图1-2),且有 A(BAB)=.,七、习题布置,P10：1、2、3、4.,
