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1、向 量 代 数与 空 间 解 析 几 何 习题课,一、主要内容,（一）向量代数,（二）空间解析几何,向量的线性运算,向量的表示法,向量积,数量积,混合积,向量的积,向量概念,（一）向量代数,1、向量的概念,向量的模、,单位向量、,零向量、,自由向量、,相等向量、,负向量、,平行向量、,向径.,2、向量的线性运算,加、减、数乘,3、向量的表示法,向量的分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标表示式：,向量的坐标：,模、方向余弦的坐标表示式,4、数量积、向量积、混合积,各种积的坐标表达式,两向量平行、垂直的条件,直 线,曲面,曲线,平 面,参数方程,旋转曲面,柱 面,二次曲面,一般方程,参数
2、方程,一般方程,对称式方程,点法式方程,一般方程,空间直角坐标系,（二）空间解析几何,1、空间直角坐标系,2、曲面,旋转曲面、,柱面、,二次曲面,3、空间曲线,4、平面,5、空间直线,线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离,两直线共面的条件,共面,6、平面束,二、典型例题,例1,解,由题设条件得,解得,例2,证,例3,证,而,因,令,得唯一驻点,而,时,面积最大,例4,解,由题设知,两式相减得,代入前式有,故,例5,解,而,故可设,而,故,故，所求向量为,例6,解,过已知直线的平面束方程为,由题设知,由此解得,代回平面束方程为,例7,解,将两已知直线方程化为参数方程为,即有,例8,解,设所求
3、直线的方向数为,则直线方程为,化成参数方程，有,代入已知直线方程，得,又所求直线与已知平面平行,（两边同乘以）,解得,直线方程为,例9,解,所求投影直线方程为,例10,解,分别令参数方程中的 x,y,z 为 0 即可得直线在三个坐标面上的投影方程,过直线作一平面与已知平面垂直,直线的方向向量,已知平面的法向量,即为所求平面的法向量,故所求平面的方程为,即,已知直线在所给平面上的投影直线的方程为,例11,解,由于高度不变,故所求旋转曲面方程为,例12,解一,如图所示,所求点到直线的距离等于平行四边形的高,由向量积的几何意义得,解二,过M作一平面,则平面的方程为,再求直线和平面的交点,直线的参数方
4、程为,代入平面方程，有,交点坐标,点到直线的距离为,例13,解一,所谓异面直线间的距离，即公垂线上两垂足之间的距离。,故其方向向量为,由于 为 的法向量,的方程为,记,记,则 到 的距离,解二,设两垂足的坐标分别为,公垂线方程和公垂线长 异面直线间的距离,例14,分析,求直线方程，或者求出直线所在的平面得交面式方程，或者求出直线上一点及方向向量得点向式方程，或者求出直线上的两点得两点式方程,解一,用交面式,直线 过点 B 且与 L 垂直,故直线 在过 B 且与 L 垂直的平面 内,即,又 过B且与z 轴相交,故 在由B 及z 轴所组成的平面 内,即,所求直线方程为,解二,用点向式,已知 过B，故只须求出其方向向量,而,故,又 过 B 且与z 轴相交，,即 在由B及z 轴所组成的平面内,所求直线方程为,解三,用两点式,已知 过B，故只须求出第二个点,又 与轴相交，可设法求出这个交点,过B作平面，使 得,即,求出 z 轴与 的交点,将 代入，有,交点为,而 在 上又和 z 轴相交，,现 与 z 轴只有唯一的交点,故 即为 与 z 轴的交点,即,
