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1、1,泰勒(Taylor)级数与罗朗级数,2,为了证明定理1，首先介绍下面两个引理一、有关逐项积分的两个引理引理1（函数项级数的逐项积分）设函数 和 沿曲线 可积，且在 上处处有如果存在收敛的正项级数 使得在 上有那么,2 泰勒(Taylor)级数,3,证明：由于 收敛，因此当 时，必有于是设曲线 的长度为，当 时，有这就证明了该引理。,4,引理2 若 在正向圆周 上连续，则（1）对该圆内任一点z有(2）对该圆外任一点z有,5,证明：（1）令，由于，因此由等比级数的求和公式得：对任意满足 的点成立。由引理1，只须对最后所得的函数项级数找出满足引理条件的正项级数A0+A1+An+，然后逐项积分就可
2、得到所证结果。,6,事实上，由函数f()的连续性，可设|f()|在圆周|-z0|=r上的上界为正数M，则对于固定的点z，在该圆周上处处有而 是收敛的，故所证等式成立。,7,（2）当z 在圆周外时，显然 对圆周 上的点 成立。这时有同样由引理1可得所证等式。,8,定理1 设函数f(z)在圆盘 内解析，那么在U内有 证明：设。以 为中心在 内作一圆，使得 z 属于其内部，此时由柯西积分公式有又因 在C上解析，也一定连续，所以由引理2的结论（1）得,9,由于z是U内的任意一点，证毕。,注 定理1中的幂级数称为函数f(z)在点z0的Taylor级数展开式，可以写为 其中cn为展开式的Taylor系数，
3、可表示为,10,定理2 函数 在 解析的充分必要条件是它在 的某个邻域有幂级数展开式。系1 幂级数就是它的和函数 在收敛圆盘中的Taylor展开式，即系2(幂级数展开式的唯一性)在定理1中，幂级数的和函数f(z)在收敛圆盘U内不可能有另一幂级数展开式。,11,三.初等函数的泰勒展开式,1 直接展开法：先求出，然后应用泰勒定理写出泰勒级数及其收敛半径。指数函数在 处的泰勒（Taylor）展开式 下列函数在 处的泰勒展开式,12,为实常数当 时，上式只有有限项，并且是在整个复平面上成立。,13,间接展开法：它是根据函数在一点的泰勒级数展开式的唯一性给出的。在这里指从上面6个初等函数的泰勒级数展开式
4、出发，利用幂级数的变量替换，逐项微分，逐项积分和四则运算等求出其出泰勒级数及其收敛半径。如：应用，令，得,14,例1 试将 在点 展成泰勒级数。,15,解 因为 是,可在 内展成泰勒级数，有,例1 试将 在点 展成泰勒级数。,的唯一有限奇点，所以,16,例2 求下列函数在点 处的泰勒级数展开式及其收敛半径。（1）（2）（3）（4）,17,例2 求下列函数在点 处的泰勒级数展开式及其收敛半径。（1）（2）（3）（4）解（1）在 处为唯一的奇点，并且当 时，函数，所以函数在 处的泰勒级数展开式的收敛半径为|z1-z0|=|0-i|=1，从而在|z-i|1 时有令 应用展开式(6)可得：,18,（2
5、）同理可得其在 处的泰勒级数展开式的收敛半径为 1。由于,应用展开式（3）得所以当 时,19,（3）由于 在整个复平面上解析，故其收敛半径为，从而应用展开式（2)(4)得用直接法也简单，注意到,20,（4），其Taylor级数收敛半径为1，从而 在 处的泰勒级数展开式两端同乘以 即可得到 在 处的泰勒级数展开式：注意：显然不必要将 写成 的多项式再来求 在 处的泰勒级数展开式。,21,小结,泰勒(Taylor)级数的形式？幂级数为其中z是复变数，系数 是复常数。泰勒级数在收敛半径为R的收敛圆内表示了一个解析函数；如果函数在半径为R的圆内解析，则它可在该圆内展成泰勒级数。,22,4 罗朗(Lau
6、rent)级数,一.问题的引入-罗朗级数的收敛域 二.罗朗展开定理 三.环域上解析函数的Laurent展开式 四.Laurent级数在积分计算中的应用,23,一.问题的引入,研究了,对于一般的函数项级数,从数学研究的角度，应该可以取具有负幂的：,更一般地，考虑双边幂级数：,取正幂项的级数,24,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,Laurent级数,收敛,25,收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,R,结论：,且和函数在收敛域内解析,注意：,祥 见P185的定理 5.1,26,引例,都不解析,也可以展开成罗朗级数：,27,一、罗朗展开定理
7、,c,1,C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线.,为罗朗系数.,28,由Cauchy积分公式，对环内任意的z 有,证明：,由复闭路定理可知：,证毕,29,i)罗朗级数中的正幂项系数不能记为：,3)与泰勒级数比较,ii)罗朗级数是泰勒级数的推广.,说明:,在圆环域内的罗朗(Laurent)级数.,1),2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是 f(z)的罗朗级数.,30,罗朗级数的性质 定理 若函数 在圆环D:内解析，则该函数的罗朗级数展开式在D内处处绝对收敛、可以逐项微分和积分，其积分路径为内的任何简单闭路。,31,二、函数的Laurent展开式,(1)直接展开法,
8、利用定理公式计算系数,然后写出,缺点:计算往往很麻烦,不常用,方法:1.直接法 2.间接法,32,(2)间接展开法,根据罗朗级数的正、负幂项组成的的级数的唯一性,用代数运算、代换、求导和积分以及已有的Taylor展开式等方法去展开.,优点:简捷、快速，所以常用,33,例1 求 及 在 内的罗朗展开式。,解：此时用sinz的Taylor展式,34,例2,内解析,把 f(z)在这些区域内展成Laurent级数.,解,35,由,且仍有,36,此时,仍有,37,说明:,回答：不矛盾.,问题：这与罗朗展开式的唯一性是否相矛盾?,38,例3 分别将下列函数在指定点 的去心邻域内展开成Laurent级数,（
9、1）,化简得,该展开式不含有负幂项.,39,（2）,40,四、用Laurent级数的展开式计算积分 根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得 因此，我们可以根据求出系数c-1 的值来计算积分。,步骤：1.分析f(z)的解析性，确定解析环域；,2.在包含积分路径C的解析环域里将函数展成Laurent级数,例 5,41,例 6,42,例7 计算积分,注意 用Cauchy积分公式计算上述积分更方便，即,43,复积分计算的方法,(f(z)在C的内部解析),(F(z)为f(z)的原函数),(C为内部包含z0的简单闭曲线,f(z)在C的内部解析),(Laurent 级数展开式),例 计算积分,44,有时用第三,四章中介绍的有关公式来计算积分也不简便,还需要用到以后介绍的留数和留数定理.,45,复数项级数,函数项级数,充要条件,必要条件,幂级数,收敛半径R,复 变 函 数,绝对收敛,运算与性质,收敛条件,条件收敛,复数列,收敛半径的计算,Taylor 级数,Laurent级数,第四章 主要内容,46,注意 用Cauchy积分公式计算上述积分更方便，即,47,作业：P134 3，4，6-（2）（4）,
