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1、,第四章 级 数,4.2 幂级数,4.4 洛朗级数,4.1 复数项级数,4.3 泰勒级数,1.复数列的极限 2.级数的概念,4.1 复数项级数,1.复数列的极限,定义,又设复常数：,定理1,证明,2.级数的概念,级数的前面n项的和,不收敛,例1,解,定理2,证明,由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。,性质,定理3,证明,?,定义,由定理3的证明过程，及不等式,定理4,解,例2,例3,解,练习：,1.幂级数的概念 2.收敛定理 3.收敛圆与收敛半径 4.收敛半径的求法 5.幂级数的运算和性质,4.2 幂级数,1.幂级数的概念,定义,设复变函数列：,级数的最前面n项的
2、和,-称为复变函数项级数。,若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数。,特殊情况，在级数(1)中,2.收敛定理,同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：,定理1（阿贝尔（Able）定理）,证明,(2)用反证法，,3.收敛圆与收敛半径,由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：,(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛。,(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。,显然，,否则，级数(3)将在处发散。,将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变,小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错
3、。故,播放,(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。,(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.,4.收敛半径的求法,定理2(比值法),证明,定理3(根值法),定理3(根值法),定理2(比值法),例1,解,综上,例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:,解(1),p=1,p=2,该级数在收敛圆上是处处收敛的。,综上,该级数发散。,该级数收敛，,故该级数在复平面上是处处收敛的.,5.幂级数的运算和性质,代数运算,-幂级数的加、减运算,-幂级数的乘法运算,-幂级数
4、的代换(复合)运算,幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用。,例3,解,解,分析运算,定理4,-幂级数的逐项求导运算,-幂级数的逐项积分运算,1.泰勒展开定理 2.展开式的唯一性 3.简单初等函数的泰勒展开式,4.3 泰勒(Taylor)级数,1.泰勒(Taylor)展开定理,现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）,以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。,由4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。,定理（泰勒展开定理）,分析：,代入(1)得,-(*)
5、得证！,证明(不讲),(不讲),证明（不讲）,2.展开式的唯一性,结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。,利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？,事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:,由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开,由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。,-直接法,-间接法,代公式,函数展开成Taylor级数的方法：,3.简单初等函数的泰勒展开式,例1,解,上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.,例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:,解,(2)由幂级数逐项
6、求导性质得：,(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z1.,定理,1.预备知识 2.双边幂级数 3.函数展开成双边幂级数 4.展开式的唯一性,4.4 罗朗(Laurent)级数,由4.3 知,f(z)在 z0 解析，则 f(z)总可以在z0的某一个圆域 z-z0R 内展开成 z-z0 的幂级数。若 f(z)在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成z-z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1z-z0R2 内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？,例如，,本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解
7、析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。,1.预备知识,Cauchy 积分公式的推广到复连通域,-见第三章第18题,2.双边幂级数,-含有正负幂项的级数,定义 形如,-双边幂级数,正幂项(包括常数项)部分：,负幂项部分：,级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在z-z0=R2 内收敛，且和为s(z)+;在z-z0=R 2外发散。,(2)在圆环域的边界z-z0=R1,z-z0=R2上,3.函数展开成双边幂级数,定理,证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式：,式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2，k1上进行的，在D
8、内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：,证毕！,(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那 么就利用洛朗（Laurent）级数来展开。,4.展开式的唯一性,结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。,事实上，,由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式(5)求Laurent系数的方法。,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解:,没有奇点,注意
9、首项,(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。,小结：把f(z)展成洛朗(Laurent)级数的方法：,解(1)在(最大的)去心邻域,例5,(2)在(最大的)去心邻域,练习：,(2)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数。,(3)Laurent级数与Taylor 级数的不同点：Taylor级数先展开求R,找出收敛域。Laurent级数先求 f(z)的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远 点的所有使 f(z)解析的环，在环域上展成 级数。,作业,Page 142 1(2)(4)；2;3(3)(4)；6(2)(3)(4)；9;11(1)(3)；12(1)(3)；14;16(2)(3)；20,
