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1、第八节：多元函数的极值,一元函数 y=f(x)的极值概念：,总有,（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。,（2）（极值存在的必要条件）若 f(x)在极值点处可导，则导数一定为 0，反之不成立。,（3）（驻点为极值点的充分条件）,设,存在，则有,（1）如果,（3）如果,，则,为 f(x)的极小值；,（2）如果,，则,为 f(x)的极大值；,，定理失效。,（一）二元函数的极值,定义：设 z=f(x,y)的定义域为 D，,总有,总有,是 D 的一个内点，,若存在点 的一个去心邻域,极大值和极小值统称为极值；,使函数取得极值的点称为极值点；,同一元函数一样，二元函数
2、极值也是一个局部概念,(1),例1,极值点必是 D 的内点；,利用点函数的概念，上述二元函数极值的概念可以 推广到 n 元函数的情形,(2),例,例,因为在点(0,0)处，函数值为 0，,而在点(0,0)的任何邻域内，即有使函数值大于0 的点，也有使函数值小于 0 的点。,定理 1:（极值存在的必要条件）如果,在点,处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有,问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？,证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似,因为 f(x,y)在点,有极大值,定理 1:（极值存在的必要条件）如果,在点,处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有,问题：什么点可能成为极值点？什么
3、点必定是极值点？,证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似,这表明一元函数,在点,处取得极大值，,因此,同理可证,凡是能使,具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。,同时成立的点 称为函数的驻点。,极值点也可能是使偏导数 不存在的点。,极值点只可能在驻点或使偏导数 不存在的点中产生。,例1：,解：,得驻点,该函数无极值。,定理 2:（极值存在的充分条件）如果,（1）,（2）,在点,的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且,时具有极值，且当 A 0 时，有,则 f(x,y)在,处是否取得极值的条件如下,极大值，,当 A 0 时，有极小值；,时没有是极值；,（3）,时可能有极值，也
4、可能没有极值，,还需另作讨论。,具有二阶连续偏导数的函数 f(x,y)的极值的求法：,第一步：解方程组,求出所有实数解，即求得函数的所有驻点。,第二步：对于每一个驻点,第三步：定出,计算二阶偏导数值 A、B、C。,的符号，按定理 2 判定,是否是极值，是极大值还是极小值,例2：求 的极值,解：（1）,得到四个驻点：,（2）计算二阶偏导数 A、B、C。,（3）对每一个驻点，判断,的符号,所以(1,0)为极小值点，,为极小值。,所以点(1,2)和(3,0)不是函数的极值点。,所以(3,2)是极大值点。,为极大值。,又在驻点处必有,所以,将上述方程组两边分别再对 x,y 求偏导数，得,解,解,在驻点
5、处必有,所以驻点(1,1)为极值点,（二）最大值和最小值,如果 f(x,y)在有界闭区域 D 上连续，则它在 D 上 必定取得最大值和最小值。,这种使函数取得最大值或最小值的点即可能在 D 的 内部，也可能在 D 的边界上。,假定函数在 D 上连续、在 D 的内部可微且仅有有限 个驻点，这时如果函数在 D 的内部取最大或最小值，则它也是函数的极大或极小值，并且一定在某个驻点 上取得。,求函数最大值和最小值的一般方法：,（1）求函数在 D 内的所有驻点；,（2）求函数在 D 的边界上的最大值和最小值；,（3）将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的 最大值和最小值相比较，最大者就是函数在
6、D 上 的最大值，最小者就是最小值。,在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是函数在 D 上的最大或 最小值点。,例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？,解：,24cm,梯形的上底长为,高为,其中,例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？,解：,问题转化为求面积函数 A=A(x,)在区域 D,上的最大值,（1）求 A=A(x,)在 D 内的驻点,例1：有
7、一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？,解：,注意到,得唯一驻点,例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？,解：,得唯一驻点,（2）在 D 的边界上,例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？,解：,所以当,断面的面积最大。,例1：要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？,解：设箱子的长、宽、高分别为 x,y,z,容积为 V,表面积为 S，则,解上
8、述方程组得唯一驻点,根据实际问题可知 S 一定存在最小值，并且一定在 D 的内部取得，,所以驻点,即当,表面积 S 取得最小值，此时用料最省。,是使 S 取得最小值的点,（三）条件极值与拉格朗日乘数法,例：求表面积为,解：设长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,体积为 V,则问题可描述为：,求体积,在约束条件,下的最大值,转化为无条件极值问题。,而体积为最大的长方体体积,问题 1：求函数 z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。,假设,为一极值点，则,又进一步假设(x,y)在,的某一邻域内,具有一阶连续偏导数，且,则(x,y)=0 确定了一个隐函数,代入目标函数
9、 z=f(x,y)中得,它在,处取得极值，故必有,假设,为一极值点，则,则(x,y)=0 确定了一个隐函数,又由隐函数求导公式有,所以,问题 1：求函数 z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。,假设,为一极值点，则,所以,则有,此即为问题1 在,取极值的必要条件,问题 1：求函数 z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。,引入辅助函数,则,问题 1：求函数 z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。,拉格朗日函数,拉格朗日乘子,拉格朗日乘数法：,（1）构造拉格朗日函数：,其中，为参数，称之为拉格朗日
10、乘子。,（2）联解方程组，求出问题 1 的所有可能的极值点。,问题 1：求函数 z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。,（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。,问题 2：求函数 u=f(x,y,z)在约束条件(x,y,z)=0,(x,y,z)=0 下的条件极值。,（1）作拉格朗日函数,其中，称为拉格朗日乘数。,（2）联解方程组，求出问题 2 的所有可能的极值点。,（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。,例1：求表面积为 而体积为最大的长方体体积,解：设长方体的长、宽、高分别为
11、x,y,z,体积为 V,则问题可描述为在约束条件,下，求体积函数,的最大值。,（1）构造拉格朗日函数,（2）联解方程组,例1：求表面积为 而体积为最大的长方体体积,（1）构造拉格朗日函数,（2）联解方程组,解：,由对称性知，x=y=z，,代入最后一个方程解得,这是唯一可能的极值点,（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。,例1：求表面积为 而体积为最大的长方体体积,解：,结论：表面积为,的长方体中，以棱长为,的正方体的体积最大，且最大体积为,例2：在椭球面,上，求距离平面,的最近点和最远点。,解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点,则该点到平面的
12、距离为,问题1：在约束条件,下，求距离 d 的最大最小值。,由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题 1 转化为下面的等价问题,问题2：在条件,下，求函数,的最大最小值。,（1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,（1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,求得两个驻点：,对应的距离为,（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以,最近距离为,最远距离为,例3：求,在条件,解：,下的极值，,其中，x 0,y 0,z 0,a 0。,（1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,由对称性知，x=y=z，,代入最后一个方程解得,这是唯一可能的极值点,例3：求,在条件,解：,下的极
13、值，,其中，x 0,y 0,z 0,a 0。,这是唯一可能的极值点,（3）判断：,设条件,所确定的隐函数为,代入目标函数中得,它有唯一驻点(3 a,3 a),经计算可得,例3：求,在条件,解：,下的极值，,其中，x 0,y 0,z 0,a 0。,这是唯一可能的极值点,所以，(3a,3a)是函数 u=x y(x,y)的极小值点,从而原条件极值问题有极小值点(3a,3a,3a),对应的极小值为,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,平面点集和区域,多元函数的极限,多元函数连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数的性质,多元函数概念,一、主要内容
14、,全微分的应用,高阶偏导数,隐函数求导法则,复合函数求导法则,全微分形式的不变性,微分法在几何上的应用,方向导数,多元函数的极值,全微分概念,偏导数概念,（四）最小二乘法,问题描述：,通过实验、测量或调查，得到自变量 x 和因变量 y 之间的 n 对数据,从而可用 y=f(x)作为 x 和 y 之间函数关系的近似表达式，称之为经验公式。,要求寻找一个适当类型的函数 y=f(x)，使,与实际观测值,在某种尺度意义下“最接近”,它在观测点,的函数值,建立经验公式常用的方法就是最小二乘法。,首先将 n 对观测数据,看作直角坐标系中的 n 个点，并将其描出,如果这些点几乎分布在一条直线附近，就认为 x
15、 和 y 之间存在线性关系，如图所示,直线 L 的方程即为所求经验公式。,其中 a,b 为待定参数。,设 L 的方程为：,直线上与点,横坐标相同的点设为,叫作实测值与理论值的误差，,问题：确定一组参数 a,b，使误差的平方和,最小。,这种方法叫作最小二乘法。,注意：在上式中，,故上述问题即为求一个二元函数的最小值问题,和,是已知的，所以 S,是参数 a 和 b 的二元函数。,从标准方程中解出a 和 b,代如直线方程,即得经验公式,例1：两个相依的量 与，由 确定，经 6 次测试，得数据如下表,试建立 依赖 的线性关系:,解：根据标准方程,02-03第二学期期中自测题,本套自测题内容包括第七章：无穷级数、第八章（1 8 节），要求同学在 120 分钟内以闭卷的方式独立完成。,
