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1、第十二讲 多元正态分布的参数估计与检验,一、多元正态分布,二、参数的估计,三、参数的检验,如果 维随机向量(随机变量),一、多元正态分布,定义,(联合)概率密度函数为,则称随机向量 为 维正态随机向量，,其中,称为均值向量，,为协方差矩阵(协差阵)，且,对于一般情形,仍可定义多维正,记为。,态随机向量，,当 时，,若令,多元正态分布的性质：,（1）,维正态分布由其均值向量和协方差阵唯,一确定。,（2）,对于任一 维向量 及 阶非负定矩阵，,（3）,设，是 常数矩阵，,是 维向量，,则,必存在 维正态随机向量。,有前面的密度表示，而当 时，,的分,布是退化的正态分布。,（4）,为 维正态随机向量
2、的充要条件为对任,一 维向量，,是一维正态随机变量。,（5）,设 为多维正态随机向量，,则 与 互不相关的充要条件是 与,相互独立。,注：,若，则称 与 互不相关。,（6）,设，,则 的充要条,件是存在 矩阵 使得,其中。,证明,充分性由性质3立得。,下证必要性。,由于 是秩 为的非负定阵，则必存在正,交矩阵 使得,其中。,令,则有,令,则由性质3知，,且,由上式可得,若记,它是 矩阵，即有,（7）,若,且，,则,证明,由 可知 是正定矩阵，,所以,存在且为对称矩阵，,这样,令,则,且,由性质3知 的每个分量 服从标准正态分布，,且相互独立，,故 分布的定义知,二、参数的估计,在此给出多元正态
3、分布的参数 和 的估,计。,为简单计，仅考虑 的情形。,设 是来自多元正态总,体 的简单样本，,令,样本均值向量,样本离差阵,定理18.1,则 是,设 是来自多元正,态总体 的简单样本，,且，,的极大似然估计，,是 的极大似然估计。,定理18.2,则 是,设 是来自多元正,态总体 的简单样本，,且，,的一致最小方差无偏估计，,是 的一致,最小方差无偏估计。,三、均值的检验,（一）,协差阵 已知时，均值 的检验,设 是来自多元正态总,体 的简单样本，,其中 已知。,考虑假设,检验问题,令,则可以证明当,成立时，即 时，,而当 不成立时，,有偏大的趋势。,因此，对,给定的显著性水平，,当,时拒绝，
4、,否则接受，即拒绝域为,（二）,协差阵 未知时，均值 的检验,设 是来自多元正态总,体 的简单样本，,其中 未知。,考虑假设,检验问题,令,则可以证,成立时，即 时，,明当,而当 不成立时，,有偏大的趋势。,因此，对,给定的显著性水平，,当,时拒绝，,否则接受，即拒绝域为,（三）,两个正态总体均值相等的检验,设 是来自多元正态总,体 的简单样本，,考虑假设检验问题,是来,自多元正态总 的简单样本，,且两个样本,相互独立，协方差阵。,根据协方差阵 已知和未知分两种情形：,（1）,已知,检验统计量,可以证明当 成立时，,即 时，,而当 不成立时，,有偏大的趋势。,因此，对,给定的显著性水平，,当,时拒绝，,否则接受，即拒绝域为,（2）,未知,检验统计量,可以证明当 成立时，,即 时，,其中 是协方差阵 的估,计量。,而当 不成立时，,有偏大的趋势。,因此，对,给定的显著性水平，,拒绝域为,
