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1、第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,4.1 不定积分的概念与性质,原函数与不定积分的概念 基本积分公式 不定积分的性质,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,问题:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表示?,定理1.,存在原函数.,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,原函数存在定理：,连续函数一定有原函数.,原函数存在定理：,连续函数一定有原函数.,注意：,(1)原函数不唯一;,例,(2)原函数之间的关系:,若 和 都是 的原函数，,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族
2、.,的积分曲线.,不定积分的定义：,例1 求,解,解,例2 求,例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,注:1)求导数与求不定积分是互逆运算,2)同一函数的不定积分的结果形式会不同,可用求导数的方法验证正确性.,实例,积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,基本积分表,是常数);,说明：,简写为,例4 求积分,解,根据积分公式（2）,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、不定积分的性质,证,例5 求积分,解,说
3、明：被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,分项积分,例6 求积分,解,分项积分,解：原式,例7：求,加项减项,例8 求积分,解,例9：求,解：原式,三角公式,三角公式,例10 求积分,解,利用三角公式,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表(见P 186),2.直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,思考与练习,1.若,提示:,2.若,是,的原函数,则,提示:,已知,3.若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,4.求下列积分:,提示:,5.求不定积分,解：,6.已知,求 A,B.,解:等式两边对 x 求导,得,作业,P192 2(1),(3),(5),(7),(25);2;5;6,
