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1、三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,洛必达法则,第三章,微分中值定理,函数的性态,导数的性态,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,(或 型),本节研究:,洛必达法则,若两个函数,时都趋于零,或趋于,那么，,可能存在，也可能不存在。,此种极限称为未定式。,分别简记为,“商的极限等于极限的商”的法则来计算。,此外，还有,等共七种类型。,未定式,等仅是一个习惯记号，,没有运算意义。,通常,这种极限不能用,一、,存在(或为),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),(在 x,a 之间),证:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以 x,a 为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定
2、理条件,存在(或为),推论1.,定理 1 中,换为下列过程之一:,推论 2.若,理1条件,则,条件 2)作相应的修改,定理 1 仍然成立.,洛必达法则,例1.求,解:,原式,注意:不是未定式不能用洛必达法则!,洛,洛,例2.求,解:,原式,本题第二步也可用等价无穷小替换来做，,在求极限时将洛必达法则与等价无穷小替换结合起来，,会大大提高解题效率.,例3.求,解:注意到,原式,洛,例4.求,解:原式,思考:如何求,(n 为正整数)?,洛,解：,练习,二、,型未定式,存在(或为),定理 2.,(洛必达法则),说明:定理中,换为,之一,条件 2)作相应的修改,定理仍然成立.,例5.求,解:,原式,例
3、6.求,解:(1)n 为正整数的情形.,原式,洛,(2)n 不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹逼准则,存在正整数 k,使当 x 1 时,例6.,例5.,说明:,1)例5,例6 表明,时,后者比前者趋于,更快.,例如,事实上,用洛必达法则,2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.,3)若,例如,极限不存在,不能用洛必达法则!,即,你还打算做下去吗?,这样做,分母中 x 的次数将越来越高,而分子不变,极限始终无法求出.,将原极限稍加变形:,三、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例7.求,解:原式,洛,解:原式,例8.求,通分,取倒数,取对数,洛,例9.求,解:,利用 例7,通分,取倒数,取对数,例10.,解：,例11.,解：,例5,例12.求,法1.直接用洛必达法则.,下一步计算很繁!,法2.利用例5结果.,原式,例5,注,对数列极限不能直接用洛必达法则.,如：,正确解：,内容小结,洛必达法则,思考与练习,1.设,是未定式极限,如果,是否,的极限也不存在?举例说明.,极限不存在,原式,分析:,分析:,3.,原式,洛,作业,P138 1(12)，(16);4,
