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1、高数复习重点（上）,一、函数的极限，连续、可导,1.函数的极限,（1）重要极限；,（2）等价无穷小代换；,（3）洛必塔法则；,2.函数连续（左右连续，间断点类型）、可导的 定义,重点：分段函数在分界点处之连续性与可导性,二、函数求导和微分、复合函数求导，高阶导数，利用参数方程求曲线的切线方程和法线方程，微分中值定理的应用,1.函数求导和微分,重点:隐函数和参数方程求导(包括二阶导数）变上限函数求导.,2.复合函数求导,3.高阶导数,重点:二阶导数,4.利用参数方程求曲线的切线方程和法线方程,6.微分中值定理的应用,（1）零点定理 P61,（2）中值定理的应用（证明题）,5.导数的应用：单调区间
2、、凹凸区间，极值与最值，拐点，渐近线,三、不定积分与定积分,1.求积分：原函数与不定积分的概念，换元法和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分.,2.定积分的几何应用：平面图形的面积和旋转体的体积,四、微分方程：一阶线性微分方程，可降阶微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式.,例1：求极限,解：,/,参考题,答案：,答案：1,例1,解,例2：设,解：,例3,解：微分法,解：,例4：已知 可导，求,例5：已知,解：令,则 y=f(u),x=0 时 u=1,例1,解,例5,证明：,f(x)在（0，+）上单调增加，,故当 x 0 时，必有,亦即,/,例1:求 的单
3、调增减区间和极值,解：,令,得驻点 x=1,又 x=0 为不可导点,不存在,极大值,极小值,在(,0)和(1,+)上单调增加，在(0,1)上单调减少，f(0)=0 为极大值，f(1)=0.5 为 极小值,五、不定积分计算,重点：（1）凑微分法与分部积分法的结合,例1：设,解：,求,（2）两次分部积分后，表达式含所求不定积分,重点：（1）对称区间上奇函数和偶函数积分性质,若 f(x)为偶函数，即,若 f(x)为奇函数，即,1.求积分：原函数与不定积分的概念，换元法和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分.,例1：求,解：,（2）分段函数的积分,例2：设,解：,类似地有被积函数为绝对值或开根号，例如
4、,（3）定积分的换元法和分部积分法,解：,例1：设 f(x)有一个原函数，求,例2 计算,解：原式,换元时，若不写出代换变量，则不要换上、下限.,例3 计算,解,令,原式,原式=,例4：计算,解：这是一个以 1 为瑕点的反常积分,（4）瑕积分计算,三、不定积分与定积分,1.求积分：原函数与不定积分的概念，换元法和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分.,2.定积分的几何应用：平面图形的面积和旋转体的体积,（1）A 可以看作为两个曲边梯形面积的差,（2）右边的被积函数可以看作是上边曲线方程与下边曲线方程的差,曲边扇形的面积,二、极坐标系情形,面积元素,问题：一般地，考虑如图所示的曲边梯形绕 x 轴
5、旋转一周而形成的空间立体，其体积为多少？,旋转体的体积,x,y,o,所以,考虑以 d x 为底的窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片 V 体积的近似值,其体积可以近似看作以 f(x)为底半径，高为 d x 的薄圆柱体的体积，即,体积元素,或,（4）平面两曲线所围之平面图形面积,重要题型：,设曲线,将圆,分为两部分，两部分面积之比为 1:3，试确定 a 的值,七、微分方程,1。一阶线性微分方程的通解,例1 已知函数 f(x)满足:,解,求 f(x).,其通解为,为确定常数 C，需要一个初始条件。,考虑 t=1，,1.已知函数 f(x)满足:,求 f(x).,参考习题,答案：,2.设连接两点 A(0
6、,1),B(1,0)的一条凸弧，P(x,y),为凸弧 AB 上的任意一点，已知凸弧与弦 AP 之间的面积为,求此凸弧的方程。,答案：,例4：已知函数 f(x)满足:,求 f(x).,解：两边求导,例4：已知函数 f(x)满足:,求 f(x).,解：两边求导,2。二阶常系数非齐次微分方程满足初始条件的特解,（非齐项为,类型）,重点：,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根：,代入方程,化简得,原方程通解为,例1,求二阶常系数齐次线性微分方程,（1）,的通解的步骤如下：,第一步 写出方程（1）的特征方程,（2）,第二步 求出特征方程（2）的两个根,第三步 根据特征方程（2）的两个根的不同情形，对应写出方程（1）的通解.,特征方程（2）的根的判别式,特征方程（2）的根的情形,微分方程（1）的通解,两个不相等的实根,两个相等的实根,一对共扼复根,综上讨论，方程的特解总可设为,其中：,可用待定系数法确定.,方程（3）的特解已在前面讨论过，,特征方程是实系数,二次方程，,所以 只有两种情况.,方程（3）的特解：,是与 同次的多项式，系数待定.,
