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1、一、隐函数的导数,二、由参数方程所确定的函数的导数,2.4 由方程所确定的函数的导数,三、相关变化率,一、隐函数的导数,显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数,把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化,例如 方程xy310确定的隐函数为,提示:,例1 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数,(ey)(xy)(e)(0),即 eyyy+xy0,隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.,一、隐函数的导数,方程中每一项对x求导得,解,(xy)y+xy.,(
2、ey)e yy,例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0,因为当x0时 从原方程得y0 所以,5y4y2y121x60,把方程两边分别对x求导数得,解法一,5y4y2y121x60 根据原方程 当x0时 y0 将其代入上述方程得 2y10 从而 y|x005,把方程两边分别对x求导数得,解法二,例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0,解,例3,把椭圆方程的两边分别对x求导 得,所求的切线方程为,解,上式两边再对x求导 得,方程两边对x求导 得,y f(x)ln f(x)对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导
3、数及多因子之积和商的导数,此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数,设yf(x)两边取对数 得ln yln f(x)两边对x 求导 得,对数求导法,例5 求yx sin x(x0)的导数,解法二,这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.,解法一,上式两边对x 求导 得,两边取对数 得,ln ysin xln x,yx sin xe sin xln x,上式两边对x求导 得,说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的,例6,先在两边取对数 得,解,二、由参数方程所确定的函数的导数,设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t
4、)构成复合函数yyj-1(x)若xj(t)和yy(t)都可导 则,例7,解,提示:,讨论:已知xj(t),yy(t)如何求y对x的二阶导数y?,解,(t2np n为整数),三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.参数方程求导法,4.相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,思考与练习,1.设,求,2.设,由方程,确定,求,求,3.设,求其反函数的导数.,4.设,1.设,求,提示:分别用对数微分法求,答案:,2.设,由方程,确定,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导,得,当,时,故由 得,再代入 得,求,求,解：,3.设,方程组两边同时对 t 求导,得,求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,4.设,等式两边同时对 求导,
