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1、营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,数量积与向量积,启示,实例,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,定义,一、两向量的数量积,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,数量积也称为“点积”、“内积”.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,关于数量积的说明：,证,证,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）若 为数,若、为数：,证明,（1）、（3）由定义可证,余下证明（2）,营口地区成人高等教育 QQ群 543
2、56621,仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仿此证明,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,设,数量积的坐标表达式,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,证,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例3,应用向量证明CauchySchwarz不等式,证,记,则,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例4,应用向量证明直径所对的圆周角是直角,证,如图所示,圆的方程：,设 A 点的坐标为,则,营口
3、地区成人高等教育 QQ群 54356621,例5,证一,又,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,由,同理,故它们终点的连线构成等边三角形,证二,又,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,同理,故由余弦定理，有,故它们终点的连线构成等边三角形,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,实例,二、两向量的向量积,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）若 为数,证,/,/,营口地区成人高等教育 Q
4、Q群 54356621,设,向量积的坐标表达式,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,向量积还可借助于三阶行列式表示,由上式可推出,/,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例如，,补充,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,三角形ABC的面积为,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,定义,设,混合积的坐标表达式,三、向量的混合积,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,轮换对称性,营口地区
5、成人高等教育 QQ群 54356621,证明,设,由混合积的几何意义知,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,例9,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例11,分析,依题意,其中 x,y,z 待定,为求得 x，须消去 y,z,解,设有,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,同理,又由轮换对称性知,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条件）,四、小结,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题解答,
