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1、营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,函数展开成幂级数,由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开,是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,证明,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,营口地区成人高等教育 QQ群
2、54356621,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,定义,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,在x=0点任意可导,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,证明,必要性,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,充分性,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,证明,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例1,解,由于M的任意性,即得,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例2,解,营口地区成人高等教育 QQ群 5435
3、6621,例3,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,两边积分,得,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,即,注意:,牛顿二项式展开式,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,双阶乘,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,2.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,复合等方法,求展开式.,例如,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例4,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,三、小结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数的方法.,思考题,什么叫幂级数的间接展开法？,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题解答,从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练 习 题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练习题答案,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,
