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1、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项.,则在,若函数,的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式,该邻域内有:,为f(x)的泰勒级数.,则称,当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.,1)对此级数,它的收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,定理1.,各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)的泰勒公式中
2、的余项满足:,证明:,令,设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域,内具有,定理2.,若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是,唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.,证:设 f(x)所展成的幂级数为,则,显然结论成立.,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;,第三步 判别在收敛区间(R,R)内,是否为,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,例1.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其
3、余项满足,故,(在0与x 之间),故得级数,例2.将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,类似可推出:,例3.将函数,展开成 x 的幂级数,其中m,为任意常数.,解:易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间(1,1)内收敛.,因此对任意常数 m,则,为避免研究余项,设此级数的和函数为,称为二项展开式.,说明：,(1)在 x1 处的收敛性与 m 有关.,(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式 就是代数学中的二项式定理.,由此得,对应,的二项展开式分别为,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数,
4、展开成 x 的幂级数.,解:因为,把 x 换成,得,将所给函数展开成 幂级数.,例5.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分,得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在 x 1 收敛,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,例6.将,展成,解:,的幂级数.,例7.将,展成 x1 的幂级数.,解:,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,当 m=1 时,思考与练习,1.函数,处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级,数”有何不同?,提示:后者必需证明,前者无此要求.,2.如何求,的幂级数?,提示:,备用题 1.,将下列函数展开成 x 的幂级数,解:,x1 时,此级数条件收敛,因此,2.将,在x=0处展为幂级数.,解:,因此,
