复变函数与积分变换第四章级数.ppt

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1、天才？请你看看我的臂肘吧。印度数学家拉玛努扬,第四章 解析函数的级数表示法,第四章 级数,4.1 复数项级数,4.2 泰 勒 级 数,4.3 罗朗级数,主 要 内 容,本章介绍复变函数级数的概念,重点是Taylor级数、Laurent级数及其展开.,1 复数序列,2 复数项级数,4.1 复数项级数,3 复变函数项级数,4 幂级数,5 幂级数的运算性质,4.1.1 复数序列,称 为复数列,简称,为数列,记为,定义4.1设 是数列，是常数.,如果e 0,存在正整数N,使得当nN 时,不等式,成立,则称当n时,收敛于,或称 是 的极限,记作,或,复数列收敛与实数列收敛的关系,该结论说明:判别复数列的

2、敛散性可转化为判别,两个实数列的敛散性.,4.1.2 复数项级数,为复数项级数.称,为该级数的前 n 项部分和.,设 是复数列,则称,级数收敛与发散的概念,定义4.2如果级数,的部分和数列 收敛于复数 S,则称级数收敛,这时称S为级数的和,并记做,如果 不收敛，则称级数发散.,复数项级数与实数项级数收敛的关系,定理4.2 级数 收敛的充要,条件是 都收敛,并且,说明,复数项级数的收敛问题,两个实数项级数的收敛问题,解 因为级数,收敛,所以原复数项级数发散.,练习 级数 是否收敛?,发散,而级数,级数收敛的必要条件,推论4.1如果级数 收敛,则,重要结论:发散.,于是在判别级数的敛散性时,可先考

3、察,?,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,定义4.3设 是复数项级数,如果正项,级数 收敛,则称级数 绝对收敛.,绝对收敛级数的性质,定理4.3若级数 绝对收敛,则它收敛,并且,补充 因为 所以,综上可得:,因此,如果 和 都绝对收敛时,也,绝对收敛.,绝对收敛 和 都绝对收敛.,都收敛,故原级数收敛.但是级数,条件收敛,所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的.,解 因为,例4.1 级数 是否绝对收敛?,1.复变函数项级数的定义,(2)称 为区域 G 内,(1)称 为区域 G 内的复变函数序列。,复变函数项级数,2.复变函数项级数收敛的定义,(1)称 为级数 的部分和。,则称级数 在区域 D

4、 内收敛。,(3)如果存在区域 D G，有,此时，称,为和函数，D 为收敛域。,复变函数项级数,1 幂级数的概念,2 幂级数的敛散性,3 幂级数的性质,幂 级 数,1.幂级数的概念,其中，为复常数。,(I),特别地，当 时有,(),定理4.6(Abel定理)若级数 在,处收敛，则当 时,级数 绝对收敛;,若级数 在 处发散，则当 时,级数,发散.,2.幂级数的敛散性,(1)对所有的复数z都收敛.,由阿贝尔定理知:,级数在复平面内处处绝对收敛.,由,幂级数 收敛情况有三种:,(2)除 z=0 外都发散.,此时,级数在复平面内除z=0外处处发散.,(3)存在一点z10,使级数收敛(此时,根据阿贝尔

5、定理知,它必在圆周|z|=|z1|内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使级数发散.(肯定|z2|z1|);根据阿贝尔定理的推论知,它必在圆周|z|=|z2|外部发散.),如下图,.,.,收敛圆,收敛半径,收敛圆周,在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R,使得级数在圆周|z|=R内部绝对收敛,在圆周|z|=R外部发散.,幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域,动画演示,事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨,问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,以 为中心的圆域.,收敛半径根据前面所述的三种情形,分别,规定为,论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数,进行具体分析.,例如,级数:,收敛圆周上无

6、收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,解,绝对收敛,且有,在 内,级数,例4.2 求级数 的和函数与收敛半径.,所以收敛半径,收敛半径的计算方法(一),(3)当 时,收敛半径,(1)当 时,收敛半径,(2)当 时,收敛半径,定理4.7(比值法)设级数 如果,则,收敛半径的计算方法(二),(3)当 时,收敛半径,(1)当 时,收敛半径,(2)当 时,收敛半径,定理4.8(根值法)设级数 如果,则,得,得,收敛圆为,故级数的收敛半径为,p为正整数.,解 因为 所以,于是收敛半径,令,则在 内有,1.幂级数的四则运算性质,幂级数的运算性质,2.幂级数的分析性质,即,(3)在收敛圆内可以逐项积分，,即,(

7、2)函数 的导数可由其幂函数逐项求导得到，,幂级数的运算性质,3.幂级数的代换(复合)性质,在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。,又设函数 在 内解析，且满足,当 时，有,则,幂级数的运算性质,方法二 利用逐项求导性质,解,一 Taylor定理,二 将函数展开成Taylor级数,4.2 泰勒级数,实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是,非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质,以及进行数值计算的一种工具.,对于复变函数,我们已经知道幂级数在收敛,圆域内收敛于解析函数.在本节我们将证明解析,函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数,Taylor级数.这是解析函数的重要特

8、征.,一、泰勒(Taylor)定理,则当 时，有,其中，,证明(略),一、泰勒(Taylor)定理,而不是在整个解析区域 D 上展开？,的收敛性质的限制：,幂级数的收敛域必须,是圆域。,幂级数一旦收敛，其和函数一定解析。,一、泰勒(Taylor)定理,注,(2)展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。,方法一,一、泰勒(Taylor)定理,注,(2)展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。,方法二,一、泰勒(Taylor)定理,注,(3)对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，,其结果都是一样的，即具有唯一性。,方法一 利用已知的结果(4.2):,方法二 利用泰勒定理:,方法三 利用长

9、除法。,一、泰勒(Taylor)定理,注,(4)对于一个给定的函数，能不能在不具体展开为幂级数,的情况下，就知道其收敛域？,可以知道。,等于从 点到 的最近一个奇点 的距离。,在收敛圆内；,(2)奇点 也不可能在收敛圆外，不然收敛半径,还可以扩大，,故奇点 只能在收敛圆周上。,将函数展开为Taylor级数的方法:,1.直接方法;2.间接方法.,1.直接方法,由Taylor定理计算级数的系数,然后将函数 f(z)在z0 展开成幂级数.,二、将函数展开成泰勒级数,并且收敛半径,2.间接方法,借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,逐项积分等)和其它的数学技巧(代换

10、等),求函数的Taylor展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.,附:常见函数的Taylor展开式,的Taylor级数.,解,故收敛半径,逐项求导，得,因为,成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围.,当 即 时,故收敛半径,(1),(2),4.3 洛朗级数,一、含有负幂次项的“幂级数”,1.问题分析,引例,展开式为,事实上，该函数在整个复平面上仅有 一个奇点，,但正是这样一个奇点，使得函数只能在 内展开,为 z 的幂级数，,而在 如此广大的解析区域内不能,展开为 z 的幂级数。,有没有其它办法呢？,一粒老鼠屎，坏了一锅汤！,一、含

11、有负幂次项的“幂级数”,1.问题分析,设想,这样一来，在整个复平面上就有,从而可得,一、含有负幂次项的“幂级数”,1.问题分析,启示,如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，,即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个,复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。,在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？,下面将讨论下列形式的级数:,双边幂级数,一、含有负幂次项的“幂级数”,分析,2.级数 的收敛特性,(A),(B),(1)对于(A)式，其收敛域的形式为,(2)对于(B)式，其收敛域的形式为,根据上一节的讨论可知：,收敛半径R,收敛域,收敛半径R2,收敛域,两收敛域无公共部分

12、,两收敛域有公共部分,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H,H,一、含有负幂次项的“幂级数”,结论,2.级数 的收敛特性,(1)如果级数 收敛，,则其收敛域“一定”为环域：,如果只含正幂次项(或者加上有限个负幂次项)，,特别地,如果只含负幂次项(或者加上有限个正幂次项)，,则其收敛域为：,上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。,一、含有负幂次项的“幂级数”,结论,2.级数 的收敛特性,(1)如果级数 收敛，,则其收敛域“一定”为环域：,而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。,(2)级数 在收敛域内其和函数是解析的,因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开,为上述形式的级数。,二

13、、罗（洛）朗(Laurent)定理,C 为在圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。,解析,内,在此圆环域中展开为,则 一定能,其中，,说明:,在圆环域内的罗朗(Laurent)级数.,二、罗朗(Laurent)定理,注,(2)罗朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为罗朗级数,二、罗朗(Laurent)定理,的解析部分和主要部分。,(3)一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项,的级数是唯一的。,(5)若函数 在圆环 内解析，则 在,在此圆环内的罗朗展开式就是泰勒展开式。,三、将函数展开为罗朗级数的方法,1.直接展开法,根据罗朗定理，在指定的解析环上,直接计算展开系数：,有点繁！有点烦！,三、将

14、函数展开为罗朗级数的方法,根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、,代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。,两个重要的已知展开式,2.间接展开法,三、将函数展开为罗朗级数的方法,都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定,的展开区域)分为若干个解析环。,展开点为,则复平面,被分为四个解析环：,函数 有两个奇点：,以展开点 为中心，,将复平面分为三个解析环：,(2)将函数进行部分分式分解,解,当 时，,(3)将函数在每个解析环内分别展开,解,当 时，,(3)将函数在每个解析环内分别展开,解,当 时，,(3)将函数在每个解析环内分别展开,函数 有两个奇点：,以展开点 为中心，,注意

15、：不需要将函数进行部分分式分解。,将复平面分为两个解析环：,解,当 时，,(2)将函数在每个解析环内分别展开,解,当 时，,(2)将函数在每个解析环内分别展开,(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。,小结：把f(z)展成洛朗(Laurent)级数的方法：,根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数。,内展开成Laurent级数.,处都解析,并且可分解为,函数f(z)在z=1和z=2处不解析,在其它点,(1)在 内,有 则

16、,于是在 内，,(2)在 内,有,于是在 内,(3)在 内,有,于是在 内,(4)由 知,展开的级数形式应为,所以在 内,复数项级数,函数项级数,充要条件,必要条件,幂级数,收敛半径R,复 变 函 数,绝对收敛,运算与性质,收敛条件,条件收敛,复数列,收敛半径的计算,Taylor 级数,Laurent级数,本章内容总结,1.函数展开成Taylor级数与Laurent级数,本章的重点,第四章 完,Niels Henrik Abel,(1802.8.5-1829.4.6),挪威数学家.牧师的儿子,家,境贫困.Abel 15岁读中学时,优秀,的数学教师B.Holmboe(1795-1850)发现了Abel的数,学天才,对他给予指导.1821年进入克利斯安那大学.,1824年,他解决了用根式求解五次方程的不可能性,问题.Abel短暂的一生中在分析和代数领域作出了,极其出色的贡献,然而他的数学成就在当时没有得,到应有的注意,生活悲惨,在贫病交迫中早逝.,Brook Taylor,(1685.8.18-1731.12.29),英国数学家.曾任英国皇家学,会秘书.1715年在增量方法及其,逆中给出Taylor级数的展开定理.,Pierre-Alphonse Laurent(1813-1854),法国数学家.1843年证明了Laurent级数展开,定理.,