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1、第四章 解析函数的级数表示,4.1 复数项级数,一、复数序列,1.基本概念,极限,如果对任意给定的 e 0，相应地存在自然数 N，,设 为一复数序列，又设 为一确定的复数，,当 n N 时，总有|zn-a|e 成立，,或,则称复数序列,记作,使得,如果复数序列,则称,不收敛，,发散。,一、复数序列,2.复数序列极限存在的充要条件,若,则,当 时，,(略),充分性“”,解,由 或 发散，,即得 也发散。,故序列 收敛。,附,考察实序列 的收敛性。,根据复数模的三角不等式有,设,讨论序列,例,的收敛性。,解,即序列 收敛。,二、复数项级数,1.基本概念,(1)称 为复数项级数，,(2)称 为级数的
2、部分和；,并且极限值 s 称为级数的和；,(3)如果序列 收敛，即,则称级数收敛，,(4)如果序列 不收敛，则称级数发散。,简记为,二、复数项级数,2.复数项级数收敛的充要条件,级数 和 都收敛。,3.复数项级数收敛的必要条件,但级数 发散，,因此级数 发散。,设,讨论级数,例,的收敛性。,几何级数,时收敛,级数,时发散,解,故有级数 和 均收敛，,即得级数 收敛。,在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？,设,讨论级数,例,的收敛性。,11,4.复数项级数的绝对收敛与条件收敛,二、复数项级数,(2)若 发散，收敛，则称 条件收敛。,即 绝对收敛，,故 收敛。,设,讨论级数,例,的收敛性。
3、,分析,由于 发散，,(p 级数，比阶法),因此不能马上判断 是否收敛。,解,故级数 收敛。,收敛，,设,讨论级数,例,的收敛性。,敛散性的常用方法:,讨论,小结,利用定义，讨论级数部分和极限,是否成立。,判别,和,(1),(2),是否存在。,讨论,的敛散性。,(3),讨论,的敛散性。,(4),4.2 复变函数项级数,一、基本概念,1.复变函数项级数,(2)称 为区域 G 内,(1)称 为区域 G 内的复变函数序列。,一、基本概念,2.复变函数项级数收敛的定义,(1)称 为级数 的部分和。,称级数 在 点收敛。,z0,则称级数 在区域 D 内收敛。,(3)如果存在区域 D G，有,此时，称,为
4、和函数，D 为收敛域。,二、幂级数,1.幂级数的概念,其中，为复常数。,(I),特别地，当 时有,注,(1)下面主要是对(II)型幂级数进行讨论，所得到的结论,(),二、幂级数,2.阿贝尔(Abel)定理,(1)如果级数在 点收敛，则它在 上绝对收敛；,(2)如果级数在 点发散，则它在 上发散。,则存在 M，使对所有的 n 有,即得 收敛。,其中，,当 时，,对于幂级数，有,二、幂级数,2.阿贝尔(Abel)定理,(1)如果级数在 点收敛，则它在 上绝对收敛；,定理,(2)如果级数在 点发散，则它在 上发散。,证明,(2)反证法：,与已知条件矛盾。,级数在 点收敛，,二、幂级数,3.收敛圆与收
5、敛半径,定义,如果存在一个有限正数R，,(1)称圆域,为收敛圆。,(2)称 R 为收敛半径。,各点的收敛情况是不一定的。,表示级数在整个复平面上收敛。,使得幂级数,在,内绝对收敛；,在,的外部发散；,21,收敛半径为,由 收敛，,因此级数 在全平面上收敛，,收敛，,故级数 仅在 点收敛，,收敛半径为,22,级数发散。,级数收敛；,(2)当 时，,和函数为,(1)当 时，,故级数收敛半径为,求幂级数,例,的收敛半径与和函数。,二、幂级数,4.求收敛半径的方法,(1)比值法,对于幂级数，有,（利用正项级数的达朗贝尔判别法推得）,(2)根值法,如果,则收敛半径为,(利用正项级数的柯西判别法即可得到),24,得,收敛圆为,故级数的收敛半径为,令,则在 内有,三、幂级数的性质,1.幂级数的运算性质,性质,设,2.幂级数的分析性质,即,(3)在收敛圆内可以逐项积分，,即,(2)函数 的导数可由其幂函数逐项求导得到，,三、幂级数的性质,解,利用逐项求导性质,把函数,例,表示成形如,的幂级数。,解,把函数,例,表示成形如,的幂级数。,是不相等的复常数。,其中,与,
