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1、第四章 级数,主要内容,本章主要包括：1、复数项级数;2、幂级数的概念、性质及其敛散性的判 定;3、解析函数展开为泰勒级数;4、解析函数展开为洛朗级数.,2、幂级数,3、泰勒级数,4、洛朗级数,1、复数项级数,1 复数项级数,2、复数项级数,1、复数列的极限,1、复数列的极限,定义,记作,复数列收敛的条件,反之,如果,从而,下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.,而,解:,例1、,所以数列发散.,定义,表达式,称为复数项级数.,2、复数项级数,称为级数的部分和.,部分和：,若部分和数列sn(n=1,2,)以有限复数s为极限,即：,复数项级数的收敛与发散（敛散性）,总结：与实数项级数相同,判别
2、复数项级数敛散性的基本方法是:,定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,),an及bn为实数,则复级 数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:,分别收敛于a及b.,复数项级数收敛的条件,实数项级数,注：该定理的说明复数项级数的审敛问题可转化为,实数项级数的审敛问题,分别收敛于a及b,结论：,解：（1）,例2、下列级数是否收敛？,所以原级数发散,故原级数收敛,且为绝对收敛.,（2）因为,所以由正项级数的比值判别法知:,正项级数的概念：若级数中各项都是非负的(即)，则称该级数为正项级数。正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。,补,几个典型的正项级数：（1）等比级数：
3、在 时收敛，q 1时发散。（2）p级数：在p 1时收敛，p 1时发散。,补,基本审敛法1、比较审敛法：对正项级数(1)如果，则有结论：,补,（2）如果极限则当 时两级数同敛散；如果极限为0，则如果极限为，则,补,比值判别法、根值审敛法：,若正项级数适合则当 时级数收敛；当（也包括 时）级数发散；当 时无法判定,补,推论2 收敛级数的各项必是有界的.,推论1 收敛级数的通项必趋于零:,(事实上，取p=1,则必有|an+1|)，常用其等价命题：,不存在，则级数(4.1)发散,推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原 级数同为收敛或同为发散.,例3,解,级数满足必要条件,但,定义 若级
4、数 收敛,则原级数 称为绝对收敛;非绝对收敛的级数,称为条件收敛.,绝对收敛与条件收敛,定理：如果 收敛，那么 也收敛，且不等式 成立,例4,故原级数收敛,且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,2 幂级数,1、复变函数项级数2、幂级数3、收敛圆与收敛半径4、幂级数收敛半径的求法5、幂级数的运算和性质,定义 设复变函数项级数 的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,级数4.2均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:,复变函数项级数收敛的定义,1、（1）复变函数项级数,例题：,关于复变函数项级数的和函数s(z)（或f(z
5、)）:,则：,结论：当s(z)存在且不为无穷时，级数收敛，否则级数发散。,例 求幂级数,的收敛范围与和函数.,解：,级数的部分和为,级数,收敛,级数,发散.,且有,在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,结论,用于，将一个函数展开成幂级数的形式。即：,（1）定义：具有,形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1,c2,a都是复常数.,若令a=0则以上幂级数还可以写成如下形式,2、幂级数,（2）,（1）,关键是通项系数,（2）幂级数的敛散性：,（3）、幂级数收敛圆与收敛半径,由阿贝尔定理知，幂级数的收敛域是这样一个圆域，在此圆域内，级数绝对收敛；在圆域外，级数发散。称此圆域的圆周为幂级数的收
6、敛圆，收敛圆的半径为收敛半径.,幂级数在其收敛圆上的敛散性不能作一般的结论。对于给定的幂级数，将收敛圆的点带入到该级数中，利用判别复数项级数敛散性的方法作具体的判定。若收敛半径，则收敛域退缩为一点；若，则幂级数的收敛域为整个复平面。,.,.,收敛圆,收敛半径,幂级数,的收敛范围是以原点为中心的圆域：,收敛圆周,而对于 的，幂级数 是发散的,.,.,收敛圆,收敛半径,幂级数,的收敛范围是以 点为中心的圆域：,收敛圆周,而对于 的 幂级数 是发散的,定理二.如果幂级数(2)的系数cn满足,（4）、幂级数的收敛半径的求法,达朗贝尔比值法,或,柯西根值法,R=,1/l(l0,l+)0(l=+);+(l
7、=0).,则幂级数 的收敛半径为:,或,（3）,所以收敛半径,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,级数,这个例子表明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.,原级数成为,交错级数,收敛.,发散.,原级数成为,调和级数，,(2),故收敛半径,（3）,（1）代数运算性质设幂级数 与 的收敛半径分别为 与，令，则当 时，,（5）幂级数的运算和性质,（线性运算）,（乘积运算）,（2）复合运算性质,定理 设幂级数 的收敛半径为，那么它的和函数，即,(1),是收敛圆K:|z-a|R(0R+)内的解析函数.,（3）分析运算性质,（3)函数 在收敛圆内可以逐项积分，即,(2)在收敛圆内,的导数可将其幂级数逐项求 导得到，即：,解,利用逐项积分,得:,所以,解,例 计算,解,解：,代数变形,使其分母中出现,凑出,级数收敛,且其和为,小结与思考,这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质.,思考题,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?,休息休息！,幂级数学完啦,
