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1、一般地,f(x)在a,b上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.,2.定积分的几何意义,1.定积分的定义,复习,3、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质4,如果在区间a b上 f(x)0 则,性质5,性质6,性质7(定积分中值定理),二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、引例,第二节,微积分的基本公式,第五章,一、引例,在变速直线运动中,已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.,二、积分上限的函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,定理1.若,说明:,1
2、)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2)变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路.,例1.求,解:,原式,P240-8,例2.,确定常数 a,b,c 的值,使,解:,原式=,c 0,故,又由,得,例3.,证明,在,内为单调递增函数.,证:,只要证,P239-7,证,令,F(x)在0,1上连续，且,三、牛顿 莱布尼兹公式,(牛顿-莱布尼兹公式),证:,根据定理 1,故,因此,得,定理2.,函数,则,例5.计算,解:,例6.计算正弦曲线,的面积.,解:,P238-4,例7 设,求.,解:,例8 求,解:,由图形可知,解:,例10.汽车以每小时 36 km 的速度行驶,速停车
3、,解:设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶,其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,车到停车走了多少距离?,练习1,练习2,解,?,练习1,解,(2002),练习2,解二,内容小结,则有,1.微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼兹公式,2.积分上限函数积分求导公式,作业,P243 3;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);12,备用题,解：,1.,设,求,定积分为常数,设,则,故应用积分法定此常数.,2.,求,解：,的递推公式(n为正整数).,由于,因此,所以,其中,
