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1、,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的求导法则,第二章,思路:,(构造性定义),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商(除分母,为 0的点外)都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设,则,故结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例
2、如,(2),证:设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(C为常数),例1.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),证:设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(C为常数),例2.求证,证:,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求反三角函数及指数函数的导数.,解:1)设,则,类似可求得,利用,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)设,则,小结
3、:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时),故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.设,求,解:,思考:若,存在,如何求,的导数?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数(P100-101),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.有限次
4、四则运算的求导法则,(C为常数),3.复合函数求导法则,4.初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求,解:,例8.,设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,求,解:,关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.设,解：,2.设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,对数求导法-,适用范围:,二、对数求导法,然后利用求导方法求出导数.,23,1)对幂指函数,可用对数求导法求
5、导:,说明:,注意:,24,例1.,.,解:两边取对数,化为对隐式求导数,两边对 x 求导,求,25,例3,对 x 求导,两边取对数,求,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的一般关系式,问题：利用其中一个变化率求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则,两边对 t 求导,已知,h=500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
