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1、第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,一、隐函数的导数,定义：若由方程 F(x,y)=0 可确定 y 是 x 的函数,则称此函数为隐函数.,由 y=f(x)表示的函数称为显函数.,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 y 的方程),例1,解,解得,注意：隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量 x 和 y.,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例3,解,二、对数求导法,观察函数,对数求导法:,先在方
2、程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,有些函数用对数求导法求导很方便.,例1,解,等式两边取对数得,例2,解,等式两边取对数得,对幂指函数 求导也可用对数求导法.,解,例3,等式两边取对数得,例4,解,等式两边取对数得,三、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数 t,问题:消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,例1,解,例2,解,故所求切线方程为,解：,思考：,方程组两边同时对 t 求导,得,四、相关变化率,相关变化率问题:,研究两个变化率之间的关系，以便已知其中一个变化率时求出另一个变化率.,相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量
3、的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,解,仰角增加率,例1,思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以,100 msec 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对 t 求导,已知,求,试求当容器内水,例2.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的,上式两边对 t 求导，得,而,故,体积为 V,则,练习：,设溶液自深18cm，顶直径12cm的圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形桶中，开始是漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其液面下降的速率为1cm/min，问此时圆柱形桶中液面上升的速率为多少?,五、小结,隐函数求导法则:直接对方程两边求导；,对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导；,参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则；,相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.,练 习 题,练习题答案,例3,解,例3,解,水面上升之速率,
