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第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值,定义:若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如:,在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,在点(0,0)无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某去心邻域内有,说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.,例如,定理1(必要条件),函数,偏导数,但驻点不一定是极值点.,有驻点(0,0),但在该点不取极值.,且在该点取得极值,则有,存在,时,具有极值,定理2(充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,例1.,求函数,的极值.,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,在点(0,0),二、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成一个,断面为等腰梯形的水槽,问怎样折才能使断面面积最大.,例3.,某厂要用铁板做一个体积为2,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,
