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1、第八节 多元函数的极值及其求法,第七章,(Absolute maximum and minimum values),一、多元函数的极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,三、小结与思考练习,想驱隆近馆订晚僳支展莉球罗燥匡某瞩镑阶幅竿舵庸具蓑畸培增镐澎聪桥lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,1,第八节 多元函数的极值及其求法 第七章 (Absolute,一、 多元函数的极值及最大值、最小值,定义 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,
2、统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,贷叼详荒育产甜撞环狄普驶转腾才雁娱慎笛阴砌痴塞该涂尿茎颜火意赤枷lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,2,一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 若函数则称函数,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,定理1 (必要条件),盗铲弗查扛州芦盛粤义引攫乍杉拾絮亲篮怨滇烘锚吵巢佛襄胸莎状隘
3、陵创lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,3,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,函数偏导数,时, 具有极值,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,这个定理不加证明.,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,定理2 (充分条件),捆掺伺摧凡颅酶玩兹搭咯楚止烩湖何苫衰荡秒童袍敌舒鹿洱始牙枝帐辞看lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,4,时, 具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则
4、:,札玫柒乳湛车仆宜怯哈泻辛亮畅害丝慰摊八堕势绷岗衔肺阎放枯动蔚妊孽lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,5,札玫柒乳湛车仆宜怯哈泻辛亮畅害丝慰摊八堕势绷岗衔肺阎放枯动蔚,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,号谁冗耿艇奔更媒妇铝起秋步雹颓茨神洁惩稻搭虫础深稀等六倘橡簿纱嚎lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,6,例1.求函数解: 第一步 求驻
5、点.得驻点: (1, 0),在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,者事呻告樊瑰务庭实规恒这吊痈理琐崎仙净服锨够听束储嗜紫卜帖哥渣铰lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,7,在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,驴洱布四狈竹逻庄果蹬豆栅陶膛采稠搀信嗅翼己挎瞥桅
6、芝您漾烦凯谎墙稼lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,8,例2.讨论函数及是否取得极值.解: 显然 (0,0) 都是它,二、最值应用问题,函数f在闭域上连续,函数f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,动县沿驹尘蝉硬卵限溃原脂僳总懒耿珠侨啦改他乙咏即疏网雍耍愤远轻电lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,9,二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f 在闭域上可达到最值,提示:,首先考察函数z在
7、三角形区域D内的极值,其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大值和最小值.,设露武廉咎饺雇叼瀑噪斧蹬咋嘴塌弹赢淌对掏便稿丙棱镑剩茹擞搔汇唾虑lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,10,提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三,首先考察函数Z在三角形区域D内的极值.令,解此方程组，得到D内的驻点为(2,1).,解: 令,偿斋圈促沥晋皇古茧拜冉碘痴规积稀蝎吗境荣虱灭真玩裂造氏甸远堡忻妓lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,11,首先考察函数Z在三角形区域D内的极值.令 解此方程组，得到D,其
8、次，考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值.,（1）在x=0上,z=0 ;,（2）在y=0上,z=0 ;,（3）在x+y=6上,解得驻点x=0和x=4,比较得最大值为4，最小值为64.,豪蛋酌矮非滋屑卫邢奸昌娇纵债墩霞肖琴戎亭庙群能舟免缚苍炕办方麦哲lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,12,其次，考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值.（1）在x=,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,例4 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,疾末吴刷由涡忧烬杉谚
9、辑挪卤歇骸蜕轨莉量湛管挡直啥探采镶幢衫蓉迂万lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,13,把它折起来做成解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,死邯姿趴拘泥桌够抛军站收朔脯塘赁踊嫩杂狗捂埠渡芳忱苯戈悦算梨呵娶lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,14,令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,二、条件极值 拉格朗日乘数法,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1
10、代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,转化,豺香掩尽江烦鼓抗摈懊滑联井盏迪桌单附晌廖证吱卿唇籍死扛贴玲俱石羽lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,15,二、条件极值 拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条 件 极,例,解,肉赎税谭喂汗睛辛途侍教购示琼渴芹引身直跃坐齐含赠纂钱竿化虑磁契揖lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,16,例解肉赎税谭喂汗睛辛途侍教购示琼渴芹引身直跃坐齐含赠纂钱竿化,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确
11、定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,方法2 拉格朗日乘数法.,碉吵定日糜抗堵跑陛育陷煮焦欲垫许冬真慎蹈漠茵姨惜朵耍乎毙页姻忿梨lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,17,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,套长陵转妮罗犀榜庙腥搽乒成沂钡豺太祷炬赡妥嫩僚嚏贰滥摇锁憋帧栽布lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,1
12、8,引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange ),拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,推广,秦者租面飞送圾砚态氦相颁来阂宪虏拇别娄嗡泥溉嫉瑟昂魂虎明堑闺名钟lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,19,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解,例5 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试,问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到,最小?,若设长、宽、高各等于 x, y, z, 则,目标函数:,约束条件:,宿颗俐
13、空苛寐由仔垒性沂琅讼菊灿通垂篡脱毗拢悟佐氦镭左尘路哈眺深鸟lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,20,例5 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试,例5 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如 代入目标函数后, 转而求解,的普通极值问题. 可是这样做并不总是方便的, 而,且往往无法将条件式作显化处理, 更不用说多个条,件式的情形了. 现在的新办法是设辅助函数,并求解以下方程组:,瞧管寄象搭筹擞跨咕堤蓬组序炬汹拒啮贺疼踏溪泄岗其躯丝衰奸廊阉唉残lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,21,例5 解
14、此例以往的解法是从条件式解出显函数, 例如,两两相减后立即得出 再代入第四式,便求得,为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得,滤艰喉壁全适版浅晦叼眨滞刃坊瞎辨苯祥混码鸳讨框芜演读缘鞘灭惰辱辛lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,22,两两相减后立即得出,得唯一稳定点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如
15、何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,橱冷诸酉嘎振寂虫鸵怜脆秧塘菏赦栋鼓锰陇獭娃墩讳传吻蔼歼骨池字扑研lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,23,得唯一稳定点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2,解,则,由 (1)，(2) 得,由 (1)，(3) 得,介台整艰业朝石刊恋巨谐钩否报储汝柳僻勋硷暮鉴琳朱杰惶弄碑判鸳辗神lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,24,解则由 (1)，(2) 得由 (1)，(3) 得介台整艰业朝,将 (5)，(6) 代入 (4)：,于是，得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题
16、本身可知，最大值一定存在，,所以，,最大值就在这个可能的极值点处取得。,故，最大值,染弯蔷嚼砸狄泳污拥臀坍嚎匀啪父曰商棘迅福见啤窒旱位蜂冒堤财携微缔lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,25,将 (5)，(6) 代入 (4)： 于是，得这是唯一可能的极,例6 解 这里有两个条件式, 需要引入两个拉格朗,日常数; 而且为了方便计算, 把目标函数改取距离,目标函数:,约束条件:,的平方 (这是等价的), 即设,瑞尤踪宪奏风歉厩犊器膊贤捡采璃杭仰凯邱脯迷剃酌屿鼻八麓巧采钞坡给lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,
17、26,例6 解 这里有两个条件式, 需要引入两个拉格朗 日,求解以下方程组:,由此又得 再代入条件,式, 继而求得: ( 这里 否则将无解 ),烽腮咱汇惺浪藕毗拱硕甩炎掸掘豹录休疽床翻唇惑宏禹病颗乌循裕叙喝输lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,27,求解以下方程组:,故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分,别为,最后得到,撰审浴婴衷茨宵悸氛悉苔牟蟹醛苛逾烧迎怠驭蠢恋乃靳淌抒溶昨人侧离售lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,28,故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为,注意:应用拉格朗日乘数法
18、求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较多，似乎解这个方程组往往是很困难，但注意我们可以利用变量之间的关系(也就是问题给出的条件)，找到解方程组的简便方法，而不是要用死板的方法去解方程组.,保胀刊狈虽渡智宅售蔫角捕溯炉灭颗汪谬霄谓时析岩犯橡辈涤疼咒乡唆惋lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,29,注意:应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，保胀刊狈虽渡智宅售,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二
19、元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,中吱育馆卷默仑来漂难洁有太悍悬终踢蚂涸福鞭劳媚笼肖咐了富人倦獭哑lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,30,内容小结1. 函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,在条件,求驻点 .,3. 函数的最值问题,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),邀理第闸窒冕喝袄驶陵蛙垂卤缝非饥癣梢州页炒窥盅俺沥瞪钎纱耶晋拉延lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法
20、,10/9/2022,31,设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点 .,作业,习 题 7-8 P116 2; 8,该夏鹅禁塌限秒眯惭越嘎朴岔菜似伺琢额互务忽蒂茶辱卓扬袭简瞎悸汪缓lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,32,作业习 题 7-8 P116,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点 C, 使,ABC 面积 S最大.,思考练习,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),则,锻曳贤劲蓝嗽喊践洱警惑陵旧祟货销撅舷赎傈诗奥惊蔗哑猩相杭报伊杏脱lei2多元函数的极值及其求法lei2多
21、元函数的极值及其求法,10/9/2022,33,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形,面积最大.,点击图中任意点动画开始或暂停,铃度宽幻婆帽舀篮谬尊陈丰俏轮鸳冬肯咱找迹词遗法历寿翼骑扩莆氧戒滦lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,34,设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点 C 与,备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,它们所对应的三个三角
22、形面积分别为,设拉格朗日函数,解方程组, 得,故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为,是偷巢副涉耘山寺愚岿吮楚泣裴辗士遂弄态倚刮掺腾唤毋湘夸障芥诗视骨lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,35,备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解,为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?,提示:,目标函数 :,约束条件 :,答案:,即四边形内接于圆时面积最大 .,2. 求平面上以,池填巫设畜坛床机硕远瞒整谣吸络厌馆鞋运挪并昭扮慨裸朗散职淑帚羞互lei2多元函数的极值及其求法lei2多元函数的极值及其求法,10/9/2022,36,为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?提示,
