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1、,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式(第三节),第三章 导数的应用,定理1 设函数 f(x)满足条件：,由上述的讨论，我们可以得到如下定理罗尔（Rolle）定理。,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间(a,b)内可导；,（3）f(a)=f(b).,则在(a,b)内至少存在一点，使得,证 因 f(x)在闭区间a,b上连续所以在a,b上一定取到最大值M和最小值m。,(1)若M=m则 f(x)在a,b上是常数；,f(x)=M，x a,b,3.1.1 罗 尔 定 理,由于 f(x)在处取最大值，所以不论 x为正或
2、为负，总有,当 x 0时,(2)若M m，则M,m中至小有一个不等于 f(a)，不妨设 f(a)M。因此，函数 f(x)在内(a,b)某一点处取到最大值M。我们来证。,同理，当 x 0时,从而，因此，任取(a,b)都有,因此必然有,3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理,由上述的讨论，我们可以得到如下定理拉格朗日（Lagrange）中值定理。,定理2 设函数 f(x)满足条件：,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间(a,b)内可导；,则在(a,b)内至少存在一点，使得,分析：若 f(a)=f(b)即为罗尔定理，不妨设 f(a)f(b)，证明的思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化
3、为已知的罗尔定理。,容易看出，弦 的方程为,证 作辅助函数,即,它是 x 的函数，将其记为，显然函数满足罗尔定理的条件。,显然 在上a,b连续，在(a,b)可导，且,于是由罗尔定理，至少存在一点(a,b)，使得,Made by Huilai Li,中值定理的演示,T 与 l 平行,这样的x可能有好多,在区间 上应用拉各朗日中值定理时，结论可以写成,由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。,证 在(a,b)内任意取两点 x1，x2，不妨设 x1 x2，显然 f(x)在a,b上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一点(x1，x2)，使得,推论2 若函数 f(x)，g(x)在(
4、a,b)内可导，且,推论1 若函数 f(x)在(a,b)内任意点的导数，则 f(x)在(a,b)内是一个常数。,由条件知，从而f(x2)f(x1)=0。即 f(x2)=f(x1)。由 x1，x2是(a,b)内的任意两点，于是我们就证明了 f(x)在(a,b)内恒为一个常数。,则在(a,b)内，f(x)与g(x)最多相差一个常数，即,其中c为常数。,事实上，因为，由推论1可知,应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式。,例1.证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令 x=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,机动 目录 上页 下页 返回
5、结束,例2.证明不等式,证:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.1.3 柯 西 中 值 定 理,定理3 设函数 f(x)和 g(x)满足条件：,作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理：,则在(a,b)内至少存在一点，使得,证 先用反证法证明g(b)g(a)0，若不然，即有g(b)=g(a).则由罗尔定理知，至少存在一点x0(a,b)，使得，此与条件(3)矛盾，故有g(b)g(a)0。,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间(a,b)内可导；,注 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当 g(x)=x时的一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用
6、是证明下面的洛必达法则。,即,显然F(x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点，使得，即,为证明等式成立，我们作辅助函数,费马(1601 665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日(1736 1813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分
7、析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达法则,第三章,定理：设（1）（2）在点 的某邻域内（点 本身可以 除外），及 存在且（3）存在或
8、为无穷大，则有,一 两个无穷小量之比的极限（型）,3.1.4 罗必达法则,例1.求,解:,原式,注意:不是未定式不能用洛必达法则!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,解:,原式,例4.求,解:(1)n 为正整数的情形.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,例如,而,用洛必达法则,1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,极限不存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)若,其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例5.求,解:原式,机动 目
9、录 上页 下页 返回 结束,解:原式,例6.求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,例7.求,解:,利用 例5,例5 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,例8.求,解:,注意到,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,洛必达法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.设,是未定式极限,如果,不存在,是否,的极限也不存在?,举例说明.,极限,说明 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达(1661 1704),法国数学家,他著有无穷小分析,(1696),并在该书中提出了求未定式极,限的方法,后人将其命名为“洛必达法,的摆线难题,以后又解
10、出了伯努利提出的“最速降,线”问题,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆,锥曲线的书.,则”.,他在15岁时就解决了帕斯卡提出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,原式=,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,一、函数单调性和极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲线的凹凸与拐点,3.2函数性态的研究,第三章,3.2.1 函数单调性和极值1.函数的单调性,若,定理 1.设函数,则 在(a,b)内单调递增,(递减).,证:无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在(a,b)内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,例1.确定函数,的单调区间
11、.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.证明,时,成立不等式,证:令,从而,因此,且,证,证明 目录 上页 下页 返回 结束,*证明,令,则,从而,即,2 函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点,称 为函数的极大值;,(2),则称 为 的极小值点,称 为函数的极小值.,极大值点与极小值点统称为极值点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,
12、为极大点,为极小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2 若函数 f(x)在点 处有极值，且 存在，则,使 的点 称为函数f(x)的驻点,定理 1(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2(极值第二判别法),二阶导数,且,
13、则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不确定,例2.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下列命题是否正确？为什么？,(1)若，则 x0是 f(x)的极值点；,(2)若 f(x)在 x0点取得极值，必有；,解(1)错误。如 f(x)x3，则，但f(x)在 x00点无极值。,(2)错误。反例为，易知 f(x)f(0)，即x00 是 f(x)极值点，但 f(x)在x00不可导。,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函
14、数最值的方法:,(1)求 在 内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点.,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.2.2 曲线的凹凸性与拐点 1 曲线的凹凸性 定义：如果一段曲线位于它上面任一点的切线上方，我们就称这段曲线是凹曲线；如果一段曲线位于它上面任一点的切线下方，我们就称这段曲线是凸曲线；,曲线的拐点：如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分，那么这两
15、部分的分界点叫拐点。,定理2.(凹凸判定法),(1)在 I 内,则 在 I 内图形是凹的;,(2)在 I 内,则 在 I 内图形是凸的.,设函数,在区间I 上有二阶导数,例1.判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变.,在其两侧二阶导数不变号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1)求,
16、2)求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,1.设在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,有位于一直线的三个拐点.,1.求证曲线,证明：,备用题,机动 目录 上页 下页
17、 返回 结束,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,当,时，,有,证明:,令,则,是凸函数,即,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(自证),内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,定理3 目录 上页 下页 返回 结束,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,2.连续函数的最值,3.设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域
18、内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特点:,3.3 函数展为幂级数,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x 的一次多项式,3.3.1 用多项式近似表示函数,1.求 n 次近似多项式,要求:,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,1.幂级数,常用的几个函数的幂级数展开式,定义1：给定数列 则表达式 叫做无穷级数（简称为级数），记为或 或。其中第n 项 叫做无穷级数的通项或一般项。,如果级数的每一项都是常数，这级数称为常数项级数或数项级数；如果级数的每一项都是函数，这级数叫做函数项级数
19、。,2.f(x)的幂级数展开式,函数 f(x)在点x=0处的幂级数展开式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可得,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知,其中,类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.计算无理数 e 的近似值,解:,令 x=1,得,当 n=9 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后 6 位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值不能保证误差不超过,
20、因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,泰勒(1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式.,他是有限差分理论的奠基人.,麦克劳林(1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数.,试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,备用题 1.,求出该极值,并指出它是极大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求,解:,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求最大值为,
