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1、,第八章 多元函数微分学,第八章,上页 下页 返回 结束,习题课,基本概念,基本计算,基本应用,平面点集和区域,多元函数的极限,多元函数连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数的性质,多元函数概念,一、基本概念,上页 下页 返回 结束,全微分的应用,高阶偏导数,隐函数求导法则,复合函数求导法则,全微分形式的不变性,微分法在几何上的应用,方向导数,多元函数的极值,全微分概念,偏导数概念,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,例1.讨论二重极限,解一,解二 令,解三 令,时,下列算法是否正确?,分析:,解一,解二 令,上页 下页 返回 结束,此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排
2、除了沿曲线趋于原点的情况.,此时极限为 1.,第二,步未考虑分母变化的所有情况,解三 令,上页 下页 返回 结束,此法忽略了 的任意性,极限不存在!,由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证,自变量在定义域内以任意方式趋于原点.,特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r,的变化应该是任意的.,同时还可看到,本题极限实际上不存在.,提示:利用,故f 在(0,0)连续;,知,在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.,例2.证明,上页 下页 返回 结束,而,所以 f 在点(0,0)不可微!,上页 下页 返回 结束,例3.已知,求出 的表达式.,解一 令,即,解二
3、,以下与解一 相同.,则,且,上页 下页 返回 结束,显式结构,隐式结构,1.分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数=变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2.正确使用求导法则,3.利用一阶微分形式不变性,上页 下页 返回 结束,二、基本计算,重点是多元复合函数偏导数的计算,例4.,解,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,例5.,解,为求,由此可得,上页 下页 返回 结束,例6.设,其中 f 与F分别具,解一 方程两边对 x 求导,得,有一阶导数或偏导数,求,99 考研,上页 下页 返回 结束,解二,方程两边求微分,得,化简,消去 即可得,上页 下页 返回 结束
4、,例7.设,有二阶连续偏导数,且,求,解,上页 下页 返回 结束,例8.,设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二,上页 下页 返回 结束,阶偏导数,解答提示:,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,有连续的一阶偏导数,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,2001考研,上页 下页 返回 结束,例9.设,三、基本应用,1.在几何中的应用,求曲线的切线与法平面,(关键:抓住切向量),求曲面的切平面与法线(关键:抓住法向量),2.极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法),求解最值问题,上页 下页 返回 结束,例10.在第一卦限作椭球面,的切
5、平,面,使其在三坐标轴上的截距平方和最小,并求切点.,解 设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,上页 下页 返回 结束,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题.,设拉格朗日函数,上页 下页 返回 结束,切平面在三坐标轴上的截距为,令,由实际意义可知,为所求切点.,上页 下页 返回 结束,唯一驻点,例11.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,上页 下页 返回 结束,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义，最小值存在,故,上页 下页 返回 结束,上求一点,使该点处的法线垂,例12.在曲面,并写出该法线方程.,提示 设所求点为,则法线方程为,利用,得,垂直于平面,法线垂直于平面,点在曲面上,上页 下页 返回 结束,例13.在第一卦限内作椭球面,的切,平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.,提示 设切点为,用拉格朗日乘数法可求出,则切平面为,所指四面体围体积,V 最小等价于 f(x,y,z)=x y z 最大,作拉格朗日函数,上页 下页 返回 结束,作 业,P73 5，6，10，15，17,上页 下页 返回 结束,
