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1、10/27/2023,高等数学课件,第五节 曲面与曲线,一、曲面方程的概念,三、柱面,四、曲面的参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面及其方程,第八章,二、旋转曲面,10/27/2023,高等数学课件,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,定义1.,如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述
2、关系:,(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程；,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.,两个基本问题:,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,故所求方程为,例1.求动点到定点,方程.,特别,当M0 在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27
3、/2023,高等数学课件,例2.研究方程,解:配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A 0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,例3.,解:设球心为,求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程.,从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,定义2.一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲
4、面.,该定直线称为旋转,轴.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,结论：当绕某个轴旋转时，此轴对应的变量不动，另一个变量改变为,10/27/2023,高等数学课件,例4.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线
5、L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,例5.求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,三、柱面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z,平行 z 轴的直线 l
6、,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线,l 叫做母线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面
7、,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,四、曲面的参数方程,写出圆锥面,例6,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程,代表空间的曲面。称为曲面的参数方程。其中u,v为参数。,的参数方程。,解：取双参数,可得,10/27/2023,高等数学课件,例7,写出球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的参数方程。,思考题：如何写出圆柱面,可得,的参数方程。,提示与解答：可取和 z 作为参数。,解：取双参数,10/27/2023,高等数学课件,绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为,
8、又如,xoz 面上的半圆周,说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如平面Ax+By+Cz+D=0参数方程为：,10/27/2023,高等数学课件,内容小结,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1.指出下列方程的图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
