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1、2023/10/27,0,光学教程,第二篇 波动光学,2023/10/27,1,第四章 光的衍射,研究的主要问题：光的衍射现象；典型的菲涅耳衍射、夫琅和费衍射；缝与光栅。,要点：1.惠更斯菲涅耳原理；2.菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的计算。,2023/10/27,2,光的衍射,不能用反射或折射解释的光偏离直线传播的现象称为光的衍射。,1.1 光的衍射现象,障碍物、位相片；光的振幅或位相发生不均匀改变。,2023/10/27,3,衍射屏和屏函数：,衍射屏：具有各种形状的平面障碍物。,屏函数：即复振幅透射率函数,具有简单开孔形状的不透光屏的屏函数：,2023/10/27,4,1.菲涅耳衍射：,菲涅耳衍
2、射和夫琅和费衍射：,2.夫琅和费衍射：光源和接收屏均距离衍射屏为无限远时的衍射；即入射光为平行光，衍射光也为平行光。,光源或接收屏之一距离衍射屏为有限远时的衍射；此时在衍射屏上入射光或衍射光的相位为坐标的较复杂函数。,2023/10/27,5,菲涅耳衍射和夫琅和费衍射,2023/10/27,6,菲涅耳衍射和夫琅和费衍射图样,2023/10/27,7,惠更斯原理及其困难,1.子波元的概念；2.子波的包迹形成波面；,1.2 惠更斯菲涅耳原理,困难：与波的物理量无关，不能计算振幅和位相；不能定量解释衍射和干涉。,2023/10/27,8,波传到的任何一点都是子波的波源；设S是某光波的波阵面，在其上任
3、一面元dsi都可看作是次波的光源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点处光波的强度。若dsi在波阵面前面一点P产生的电场矢量为dEi，则S在P点产生的合电场为,倾斜因子f():,A(Q)取决于波前上Q点处的强度,表征子波传播并非各向同性,惠更斯菲涅耳原理（1818）,2023/10/27,9,惠更斯菲涅耳原理（1818）,1.子波球面次波的频率与初波相同；2.子波源的初相与初波到达Q点时同相；3.次波在P点的振幅与初波在Q点的振幅成正比；,2023/10/27,10,由上所述，dS在P点的振幅为：,Fresnel衍射积分公式,代入积分得：,几个问题：1.计算所得的P点的光振动比实际相位落后
4、/2；2.假设了=0时，F()=1;且/2时，F()=0。,2023/10/27,11,1882年，基尔霍夫利用麦克斯维方程，应用标量波动微分方程和数学中的格林原理及边界条件，导出了单色点源L发出的球面波照射具有开孔S0的衍射屏后，衍射场中任一点P的光振动可表为：,Kirchoff衍射积分公式,此即菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式。,2023/10/27,12,倾斜因子为：,比例常数为：,2023/10/27,13,由基尔霍夫衍射积分公式可得：,Kirchoff衍射积分公式,1.次波在各个方向上的振幅是不相等的；正入射时，0=0；,=0，F=1=，F=0,2.位相问题：,3.振幅问题：次波的振幅和入
5、射光波长成反比。,2023/10/27,14,导出基尔霍夫衍射积分公式时，使用的边界条件只有在源点和场点到衍射屏的距离远大于波长，且衍射孔的线度比光波长大得多的情况下才能近似成立。这就是对基尔霍夫公式的适用范围的限制条件。但在一般的光波衍射问题中均满足。以此为代表的称为标量衍射理论。严格的衍射理论是电磁波的矢量衍射理论。,Kirchoff衍射积分公式的适用条件,2023/10/27,15,互补屏的概念,1.3 互补屏 巴比涅原理,若有两衍射屏透光与不透光部分正好互补，则：,两个互补屏在衍射场中某点单独产生的复振幅之和等于光波自由传播时该点的复振幅。或者说，两个互补屏在观察点处产生的衍射光场，其
6、复振幅之和等于光波自由传播时在该点的复振幅。此即巴比涅原理。,2023/10/27,16,巴俾涅原理为研究某些衍射问题提供了一种辅助方法。,例：求解两种互补屏（圆孔和圆屏，单缝和金属细线）的衍射光场。,2023/10/27,17,图1 讨论衍射用的几何示意图,2 菲涅耳衍射,2023/10/27,18,由,初步近似假设：,的最大线度,近轴近似,则式化为：,2023/10/27,19,菲涅耳近似,由于,菲涅耳近似(只取前两项)：,2023/10/27,20,菲涅耳衍射公式：,2.菲涅耳衍射的傅里叶变换关系,由式指数展开，并令,在某些问题中(例如会聚球面波照明衍射屏时)二次位相因子可以被消去。,则
7、有,2023/10/27,21,夫琅禾费近似：,夫琅禾费衍射,例如设孔径由点处的单色点光源照明,夫琅禾费衍射公式,（1）,2023/10/27,22,夫琅禾费衍射区包含在菲涅耳衍射区之内。,夫琅禾费衍射与菲涅耳衍射的关系,2023/10/27,23,菲涅耳半波带法,2.1 菲涅耳衍射,若每一环带相应边缘两点或相邻带对应点到P点的光程差为/2，则称该环带为半波带。,2023/10/27,24,菲涅耳半波带法,P点合振动之振幅为：,第K个半波带外缘半径：,2023/10/27,25,菲涅耳半波带法,包含K个半波带的球冠的面积为：,包含K-1个半波带的球冠面积为：,第K个半波带面积：,2023/10
8、/27,26,菲涅耳半波带法,任何一个半波带面积和它至P点的距离之比是一个与K无关的量。各半波带在P点振幅的不同，只能与倾斜因子有关。,奇,偶,由于：,奇,偶,2023/10/27,27,菲涅耳半波带法,对自由空间传播的球面波：,半波带法要求波面恰好能够分成若干个完整的半波带，若半波带不完整，则不易得到定量的结果。,泊松亮斑,2023/10/27,28,振幅矢量图解法,可将每一个半波带分为更小的子带。以P为中心，,为半径，将第一子波带分成N个子带。,2023/10/27,29,振幅矢量图解法,注意，OC和螺线在O点的切线垂直，意味着由图解法所得P点的合振动的位相较波带中心O发出的次波在P点的相
9、位滞后/2；而在自由传播的情况下，P点实际的相位应为与O点处发出次波在P点相位相同。,这正是惠更斯菲涅耳原理的缺点之一。,2023/10/27,30,小圆孔衍射,首先计算小孔露出的波面部分对P点所包含的半波带数n。r0，,R,如果小孔的半径远大于光波长（）或接收屏离小孔很近(r0很小)；轴线上各点的光强与小孔的大小无关。,2023/10/27,31,小圆孔衍射,2023/10/27,32,小圆孔衍射,当光源置于无穷远处，即用平行光入射，且接收屏离衍射屏足够远时，小孔只露出一个半波带的一小部分；不大于一个半波带，P点始终不会出现暗点。此时已经进入夫琅和费衍射区。,衍射场分为三个区域：1.紧接着衍
10、射屏的直线投影区；2.近场区或菲涅耳衍射区；3.远场区或夫琅和费区。,夫琅和费区应满足的条件（波面只露出一个半波带的一小部分）,2023/10/27,33,小圆孔衍射,对轴外任一点的光强，半波带对振动的贡献不仅取决与波带的数目，而且与各带的残缺程度有关。,2023/10/27,34,小圆屏衍射,对遮住了m个带的小圆屏：,菲涅耳与泊淞亮点问题,2023/10/27,35,能将每隔一个半波带的光振动的复振幅（振幅或相位）加以改变的衍射屏称为波带片。,2.4 波带片,当挡住全部偶数带后，P点的振幅为：,矩形波带片,用单色平行光正入射到一个半径为K的小圆孔上，对P点所露出的第k半波带的半径为：,若在全
11、部的偶数带或奇数带上镀膜，使其光波在P点产生的振动相位延迟；这种波带片称为相位波带片。,2023/10/27,36,2023/10/27,37,波带片的焦点,对一块矩形波带片ZZ，若其第k半波带外圆的半径为k，在轴上总可以找到距波带片为r0的P0点满足：,波带片宛如正透镜一样具有聚光作用。称P0为波带片的主焦点。,2023/10/27,38,波带片的焦点,菲涅耳波带片的作用有如透镜：,波带片焦距基本与k无关。,2023/10/27,39,对通过奇数半波带的波带片，除主焦点外，在r0/3、r0/5、r0/7、还有系列强度较弱的次焦点P1、P2、P3、。在r01的情况下,对P0点的一个半波带，对P
12、1而言则包含了三个半波带。也形成一个焦点。（对称位置的虚焦点问题）,波带片的焦点,2023/10/27,40,单狭缝：,实验装置,3 Fraunhofer单狭缝和矩孔衍射,2023/10/27,41,线光源上不同点生成的衍射斑,点光源和线光源照明狭缝产生的夫琅和费衍射图样,2023/10/27,42,衍射光强分布公式：,如图，将对单狭缝的夫琅和费衍射计算作为一维问题处理。,2023/10/27,43,衍射光强分布公式：,傍轴条件,2023/10/27,44,衍射光强分布公式：,2023/10/27,45,衍射光强分布公式：,用复常数表示与x无关的量：,2023/10/27,46,衍射光强分布公
13、式：,表示狭缝边缘两点在P点所产生的振动相位差之半,P点的振幅和光强为：,2023/10/27,47,光强分布公式讨论：,光强分布曲线如图：,=0,=0,各次波源在=0的方向发出的衍射波在接收屏中央P0点的位相差为零，叠加产生极大，称为中央主极大。或者说，几何光学像点。,2023/10/27,48,光强分布公式讨论：,在中央主极大两侧还对称分布一些强度为极值的点，称为次极大。位置可由微分导出：,2023/10/27,49,光强分布公式讨论：,次极大位置,2023/10/27,50,2023/10/27,51,光强分布公式讨论：,强度为零点的位置位置,中央亮斑的半角宽度,2023/10/27,5
14、2,矩孔：,在旁轴条件下：,P点的强度：,2023/10/27,53,光强为零时：,角宽度：,2023/10/27,54,圆孔：,4 夫琅和费圆孔、圆环和多边形孔衍射,设圆孔的半径为R，对应的衍射角为,2023/10/27,55,2023/10/27,56,Airy斑：,零级衍射斑又称为Airy斑，它集中了衍射光能的83.8%。,若考虑透镜焦距：,经过透镜的平行光，其发散程度可用零级衍射斑的角宽度来量度。,2023/10/27,57,圆环：,对圆环，令 R1/R2 0 1,式中：,越大，中央亮斑越小，圆环越往内收缩，次极大的强度越大。,2023/10/27,58,多边形环：,从衍射图样可以看出
15、，振幅型衍射屏的夫琅和费衍射图样具有下列明显特点：1.零级衍射斑的中心就是点光源的几何光学像点；2.不论孔的形状如何，衍射图样中心都有一对称中心。,2023/10/27,59,分辨本领,5 成像仪器的像分辨本领,成像仪器的像分辨本领是指仪器分辨开相邻两个物点的像的能力。,从几何光学的观点看，一个无像差光学系统的分辨本领是无限的。但由于光学元件孔径的限制，物点的衍射像（爱里斑）的重叠将限制仪器的分辨本领。,2023/10/27,60,如果一个物点的衍射图样中央主极大与另一个物点的衍射图样中央主极大旁的第一极小重合时，物点是恰可分辨的。,瑞利判据,可分辨的两衍射像的角距离或分辨极限角,2023/1
16、0/27,61,瑞利判据的使用：,1.两物点应该是非相干的；若为相干光源，则衍射图像的分辨极限与二光源的位相差有关。,2.两物点的亮度应该相等，否则，分辨极限可以提高。,3.瑞利判据不是表示分辨极限的物理量，而只是一个大致的判断标准。,2023/10/27,62,Sparrow判据：,当两衍射图样的合成强度曲线中的鞍点刚刚消失时，两点恰不能被分辨。,2023/10/27,63,人眼的分辨本领：,人眼可看做一凸透镜，像空间n=1.336，物空间n 1。旁轴近似条件下：,当两点恰可分辨时，由瑞利判据有：,2023/10/27,64,人眼的分辨本领：,若=500.0nm d=2mm,设瞳孔至视网膜间
17、的距离l=22mm，则,视网膜的结构是满足瞳孔分辨本领要求的。（神经细胞的直径约为2.5m）,2023/10/27,65,望远镜的分辨本领：,望远镜将很远靠近的两个物体在物镜的后焦面上生成两个衍射像。由瑞利判据有：,通常望远镜物镜的边框就是望远镜的入瞳，它起着限制成像光束截面积大小的衍射孔的作用。而目镜只将物镜所成衍射像再放大。,对于助视仪器，使仪器的最小分辨角刚好放大到人眼所能分辨的最小角度，这个放大率称为仪器的有效放大率或正常放大率。,2023/10/27,66,显微镜的分辨本领：,显微镜的分辨本领用其所能分辨的两物点间最小距离y来表示。,设物镜的物方和像方孔径角分别为u、u，且如图有：R
18、/d=sinu,nsinu称为物镜的数值孔径，用N.A.表示。,2023/10/27,67,显微镜的分辨本领：,电子显微镜的数值孔径只有光学显微镜的几百分之一；其分辨本领只比光学显微镜高千倍左右。,2023/10/27,68,照相物镜的分辨本领：,令为照相物镜的孔径，f 为焦距。则在焦面上恰能分辨的两点间距离为：,通常用焦面上单位长度内能分辨的线数表示照相物镜的分辨本领：,D/f 称为物镜的相对孔径。,2023/10/27,69,衍射光栅,6 振幅型平面透射光栅,任何一种衍射单元周期性地重复排列所形成的阵列，能对入射光的振幅或相位或二者之一产生空间调制，都可以称为衍射光栅。光栅的类型很多，有振
19、幅型和相位型的，透射式和反射式的，平面的和凹面的等等。,2023/10/27,70,2023/10/27,71,多缝衍射光强分布公式,如图，设光栅总缝数为N，每缝的宽度为a，缝间不透光部分宽度为b，光栅的周期da+b称为光栅常数。,第二缝在P点所产生的振动的复振幅？,第一缝在P点所产生的振动的复振幅为：,2023/10/27,72,多缝衍射光强分布公式,第二缝在P点的振动为：,P点合成的合振幅为：,2023/10/27,73,多缝衍射光强分布公式,相应缝在P点的振动为：,表示相邻两缝对应点在P点振动的相位差之半,2023/10/27,74,合成矢量法：,当N 时,N个相接的折线将变为一个圆弧。
20、,P点的光强：,R,Ei,单缝衍射因子,多缝干涉因子,2023/10/27,75,多缝衍射光强分布公式,多缝衍射光强分布是多束干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果。,当=K(K=0,1,2,)光栅方程,衍射因子,干涉因子,2023/10/27,76,多缝衍射光强讨论,衍射极小值：衍射因子或干涉因子为零均会使P点的光强为零：,相邻两个主极大之间有N-1个由多光束干涉产生的极小，分别对应于K=1,2,N-1。,2023/10/27,77,多缝衍射光强讨论,衍射次极大：由于光栅总缝数N是一个很大的数，干涉因子中分子随的变化较分母快得多，因此，可认为次极大位于sinN取极大值的点。,次极大比主极大
21、弱得多。,2023/10/27,78,多缝衍射光强讨论,缺级：当衍射角满足干涉极大产生主极大时，若同时该衍射角位于单缝衍射极小处，则合成光强为零，此现象称为缺级。,注意缺级问题的a和b的比值.,讨论：整数比与分数比问题,2023/10/27,79,例1.波长为=590nm的平行光正入射到每毫米 500条刻痕的光栅上时，屏幕上最多可以看到多少条明纹？,解：光栅常数,最多可以看到 条明纹.,2023/10/27,80,解：光栅方程为,总共见到7条，上方 5 条，下方 1 条,注意：平行光斜入射时的光栅方程表达,例2.在上题条件下，平行光斜入射 i=300时，屏幕上最多可以看到哪些条明纹？(=590
22、nm,d=2000nm),2023/10/27,81,多缝衍射光强讨论,谱线的半角宽度：称主极大和它旁边的第一极小之间的角距离为谱线的半角宽度。,K级主极大的第一极小位置则决定于：,第K级主极大位置决定于：,2023/10/27,82,多缝衍射光强讨论,光栅分光原理：光栅方程,问题：如何利用光栅测定光波波长？,2023/10/27,83,讨论：双缝衍射与双缝干涉的区别,都是相干波的叠加,历史的原因：从相干波源在空间的分布条件来区别,干涉：由有限数目“分立”相干光源传来的光波相干叠加。,衍射：由相干光源“连续”分布的无限多子波波中心发出的子波相干叠加。,双缝干涉：,由两个“分立”相干光源传来的光
23、波相干叠加,双缝衍射：,由两个“连续”分布的子波中心发出的光波相干叠加,从两个很窄的双缝得到的是干涉图样,从两个较宽的双缝得到的是干涉、衍射结合的图样,2023/10/27,84,光栅,7 光栅和棱镜光谱仪的特性,角色散本领：,分光仪器的三个性能参数：色散本领、色分辨本领和色散范围,光栅常数d越小，光谱级次K越大，角色散越大。对于一确定的级次，很小时，衍射角随波长做线性变化，所得光谱为匀排光谱。,2023/10/27,85,光栅线色散本领,观察接收屏上的光谱线分开的线距离：,在很小时l=f，故：,色散与透镜焦距成正比。,2023/10/27,86,光栅色分辨本领,+的K级主极大满足：,的K级主
24、极大旁的第一极小满足：,若波长 的K级主极大的第一极小与+第K级极大叠合，则此时刚好满足瑞利判据，两波长谱线能够识别，且为分辨的极限。,2023/10/27,87,2023/10/27,88,光栅色分辨本领,谱线的半角宽度：,故最小波长差：,Nd为光栅的宽度。使用光栅时，应该使光全部照满光栅的刻线面，否则分辨率要降低。,2023/10/27,89,光栅色散范围,+的K级主极大与的K+1级主极大重叠时：,故光栅第K级光栅线的色散范围(自由光谱范围)：,在可见光范围内G值为几百m；故它与棱镜一样可在广阔的光谱区使用。F-P干涉仪的干涉级次很高，只能在很窄的光谱区使用。,2023/10/27,90,
25、光栅小结,光栅的缝宽决定对不同干涉级谱线强度的调制量，周期决定谱线位置，光栅的宽度则决定谱线的半角宽度。,2023/10/27,91,附：F-P腔的分辨率,由于F-P腔产生的条纹很细，因此主要用做高分辨的分光仪器。,1.角色散本领：设波长差为d的两同级主极大之间的角距离为di，则角色散本领定义为：,对第k级主极大：,2023/10/27,92,2.自由光谱范围：不产生越级重叠的最大波长范围称为分光仪的自由光谱范围或色散范围：,k1：,对中心附近干涉环：,2023/10/27,93,3.色分辨本领：泰勒判据：当两波长成份的强度曲线在半强度点相交，使得合成曲线鞍点的强度等于任一波长主极大强度时，两
26、条条纹恰可分辨。,2023/10/27,94,因为：,故：,此即为F-P腔的分辨极限。定义分光仪器的色分辨本领为：,故：,F-P干涉仪的精细度f 相当于光栅的总缝数，又称为有效相干光束数。F-P腔的有效相干光束数不大，但干涉级次k很高，因此也有很高的分辨本领。,2023/10/27,95,闪耀光栅,8 闪耀光栅和正弦光栅,光栅决定各级光谱强度分布的是衍射因子。对于振幅型透射光栅，单缝衍射与多光束干涉两个中央主极大重合，光能大部分集中到了无用的零级上。,如何能够使光栅本身在各个衍射单元处给入射光波引进附加的相位，从而能把衍射的中央主极大转移到其它的干涉主极大中去？,2023/10/27,96,闪
27、耀光栅,光程差为：,相邻的位相差为：,E、F发出的次波的光程差为：,相应的相位差：,2023/10/27,97,闪耀光栅,规定：入射角i和恒取正值，衍射线与入射线在法线的同侧时，衍射角i和取负值，异倒时取正值。,故：相位型反射光栅的光强分布比例于单槽衍射因子和槽间干涉因子的乘积。,其夫琅和费衍射光强分布公式为：,2023/10/27,98,闪耀光栅,当=K(K=0,1,2,)时，产生主极大；光栅方程：,对于闪耀方向：i=i,光栅的强度分布受单槽衍射因子的调制，在单槽衍射主极大方向的衍射光最强，该方向即为闪耀方向。,在此方向上产生的主极大的光谱级次为：,K称为闪耀级次,2023/10/27,99
28、,闪耀光栅的两种特殊情况,1.若平行光束沿槽面法线n方向入射i=0，光栅方程：,衍射的主极大转移到的K级谱线上。由于a d，此时的其它级次谱线几乎都落在单槽衍射的极小位置形成缺级。几乎80%90%的光能集中到的K级谱线。称为闪耀波长。选择不同的可使光栅对某一特定波段的某级光谱产生闪耀。,2023/10/27,100,闪耀光栅的两种特殊情况,2.若使平行光沿光栅平面的法线N方向入射。经槽面沿满足反射定律方向反射的光线与入射方向有2的夹角。这样相邻两槽面的对应点在此方向的次波的光程差为：,当d和给定时对于闪耀波长的闪耀级K应满足的关系式。,由于单槽衍射的中央主极大区域有一定的宽度，在闪耀波长附近一
29、定波长范围内的同级谱线强度也都比较大，同时这些波长的其它级谱线也都较弱。所以反射定向光栅可以在一定波段内把光能集中到某一级光谱上去。,2023/10/27,101,振幅型正弦光栅,干涉条纹的间距：,x为距底片中心的距离,光强分布为：,所得的透明底片即为一周期为d的振幅型正弦光栅。,底片的振幅透射率t(x)与曝光时的光强成线性关系：,2023/10/27,102,正弦光栅衍射场,透镜后焦面的光场分布比例于单元衍射和多光束干涉光强分布之积：,透射率函数为：,2023/10/27,103,正弦光栅衍射场,将t(x)代入单缝夫琅和费衍射积分公式中：,积分得：,上式表明：正弦光栅的单元衍射因子是三个中心
30、位置不同的sinc函数。,2023/10/27,104,正弦光栅衍射场,多光束干涉因子为：,积分得：,当=0 或=时，上式中的三项分别为主极大值。当=K(K=2,3,)时，干涉因子为主极大但衍射因子为零，因而形成缺级。,2023/10/27,105,正弦光栅衍射场,故振幅型正弦光栅衍射只生成0，1三级主极大，它们对应于三束平行光。,黑白朗奇光栅的振幅透射率函数为矩形函数，对应于多级的正弦光栅。,2023/10/27,106,9 X 射线衍射 布喇格公式(重要),（1）X 射线,X 射线：原子内层电子跃迁产生的一种辐射。1906年，巴克拉证实其横波性。,其特点：*穿透力强*波长较短：0.001
31、nm1 nm,1895年德国的伦琴发现X射线,可观测到X射线的衍射?,机械刻痕获得的光栅常数为微米量级,获得1901年首届诺贝尔物理学奖,2023/10/27,107,(2)X 射线晶体衍射,天然晶体可以看作是光栅常数很小的空间三维衍射光栅。,1912年劳厄的实验装置，如图：,在乳胶板上形成对称分布的若干衍射斑点，称为劳厄斑。,1913年英国物理学家布喇格父子提出一种简化了的研究X射线衍射的方法，与劳厄理论结果一致。,获得1915年诺贝尔物理学奖,获得1914年诺贝尔物理学奖,天然晶体作为衍射光栅,2023/10/27,108,劳厄斑,X射线衍射现象,晶体,X 射线,2023/10/27,109,dsin,1,2,晶面,A,C,B,(3)、X射线在晶体上的衍射解释,1).衍射中心,:掠射角,d:晶面间距(晶格常数）,2).面内散射光的干涉,每个原子都是散射子波的子波源,3).面间散射光的干涉,布喇格父子解释,2023/10/27,110,下一节课内容：,将进入光的偏振的学习,请注意回顾和预习.,
