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1、,习题课,级数的收敛、求和与展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和付式级数 展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第十一章,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅立叶级数.,为傅氏系数)时,时为数项级数;,时为幂级数;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.若级数,均收敛,且,证明级数,收敛.,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,.判别下列级数的敛散性:,提示:(1),据比较判别法,原级数发散.,因调和级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用比值判别法,可知原级数发散.,用比值法,可判断级数,因 n 充分大时,原级数发散.,用比值判别法可知:,时收敛;,时,与 p 级数比较可知,时收敛;,时发散.,再由比较法可知原级数收敛.,时发散.,发散,收敛,机动
3、 目录 上页 下页 返回 结束,.设正项级数,和,也收敛.,提示:因,存在 N 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛,证明级数,当n N 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.设级数,收敛,且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛.,问级数,提示:对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散.,例如,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:(1),P 1 时,绝对收敛;,0 p 1 时,条件收敛;,p0 时,发散.,(2)因各项取绝对值后所得强级数,原级数绝对收敛.,故,机动 目录 上页
4、下页 返回 结束,因,单调递减,且,但,所以原级数仅条件收敛.,由Leibniz判别法知级数收敛;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,所以原级数绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,.求下列级数的敛散区间:,练习:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,机动 目录 上页 下页
5、 返回 结束,例2.,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数 求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解:(1),显然 x=0 时上式也正确,
6、故和函数为,而在,x0,.求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然 x=0 时,和为 0;,根据和函数的连续性,有,x=1 时,级数也收敛.,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解:原式=,的和.,求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、函数的幂级数和付式级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1.将函数,展开成 x 的幂级数.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.函数的幂级数展开法,2.设,将 f(x)展开成,x 的幂级数,的和.(01考研),解:,于是,并求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.函数的付式级数展开法,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,练习:,上的表达式为,将其展为傅氏级数.,.设 f(x)是周期为2的函数,它在,解答提示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:如何利用本题结果求级数,根据付式级数收敛定理,当 x=0 时,有,提示:,
