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1、8.1.2 可分离变量的微分方程,1.形如 的方程称为可分离变量的微分方程.,解法,分离变量法,例 1 求方程,解分离变量，得,两边积分，得,这就是所求方程的通解,例 2 求方程,解分离变量，得,两边积分，得,化简得,另外，y=0 也是方程的解，,因此 C2 为任意常数,求解过程可简化为：,两边积分得,即通解为,其中 C 为任意常数.,中的 C2 可以为 0，,这样，方程的通解是,分离变量得,解,由题设条件,衰变规律,衰变速度,（衰变系数）,解,设鼓风机开动后 分后 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,车间内 的改变量为,答：6分钟后,车间内 的百分比降低到,思考题,求解微分方程,思考题解答
2、,为所求解.,2.齐次微分方程,形如 的方程称为齐次微分方程.,解法,作变量代换,代入原式，得,变量可分离方程,例 求解微分方程：,微分方程的解为,解,例 求解微分方程,解,微分方程的解为,利用变量代换求解微分方程,解,代入原方程,原方程的通解为,思考题,方程,是否为齐次方程?,思考题解答,方程两边同时对 求导:,原方程是齐次方程.,一：一阶线性微分方程:,上方程称为齐次的，,上方程称为非齐次的.,8.2.1 一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法:,分离变量并积分：,2.线性非齐次方程,讨论：,两边积分,令,即，常数变易法：,
3、把齐次方程通解中的常数易为函数的方法.,.,作变换,非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例,例 如图所示，平行 于y轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程,方程为非线性微分方程.,解法:,二：伯努利方程,求出通解后，将 代入即得,代入上式,令,解,例,解1,代入原式,分离变量法求解得,所求通解为,解2,小结与思考题3,1.一阶线性非齐次方程,2.伯努利方程,思考题,求微
4、分方程 的通解.,思考题解答,前面主要讨论了显式形式,8.2.2 全微分方程,则称此微分方程为全微分方程。,1定义：对微分方程,例如,所以是全微分方程.,若存在函数,2.解法,为全微分方程,由,得,是（1）的解的隐函数形式；,另一方面，因,应用曲线积分与路径无关,理论得,或,也可用直接凑全微分的方法求解.,解,是全微分方程,原方程的通解为,例,解1,整理得,公式法:,例,解2,整理得,A 曲线积分法:,B 凑微分法:,C 不定积分法:,原方程的通解为,定义,积分因子不容易求，在简单的情况下，可以观察得到,当方程（1）的P,Q不满足全微分方程,的条件时，可考虑引进所谓的积分因子的办法将其化为全微分方程形式，进而求解。,例 求方程(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0的积分因子并求其通解,解,积分得通解,将方程的各项重新合并 得,(ydxxdy)xy(ydxxdy)0,再把它改写成,用积分因子乘以方程 方变为,可,见,为,方,程,的,积分因子,.,即,.,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,常选用的积分因子有,小结与思考题4,思考题,.,利用曲线积分法求解全微分方程,故方程的通解为,思考题解答,
