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1、函数与方程(第二课时),从近几年的高考试题来看，函数的零点、方程根的问题是高考的新点、热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题客观题主要考查相应函数的图象与性质；主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法 预测2012年高考仍将以函数的零点、方程根的存在问题为主要考点，重点考查相应函数的图象与性质,考向瞭望把脉高考,1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使_成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_,f(x)0
2、,x轴,零点,问题1：是否任意函数都有零点？提示：并非任意函数都有零点，只有f(x)0有根的函数yf(x)才有零点,注意：函数的零点不是点，是方程f(x)0的根也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标,(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间_内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个_也就是f(x)0的根,f(a)f(b)0,(a，b),f(c)0,c,注意：对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(a)f(b)0；(3)在(a，b)内存在零点事实上，这是零点存在
3、的一个充分条件，但不必要,问题2：在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可能有其他零点，个数不确定,2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),3.二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法,f(a)f(b)0,一分为二,零点,1(教材习题改编)如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A B C D,2设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3
4、x80在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)0，则方程的根所在区间为()A(1.25,1.5)B(1,1.25)C(1.5,2)D不能确定,3函数f(x)x32x2x的零点是()A0 B1C0和1 D(0,0)和(1,0)4若函数f(x)2x2ax3有一个零点是1，则f(1)_.,5(2009年高考山东卷)若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_,方法技巧：研究f(x)g(x)h(x)的零点，实质就是研究方程g(x)h(x)的解,判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程f(x)=0：当对应方程易解时，可通过解方程，
5、看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断,【规律小结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断,互动探究1:,用二分法求函数零点近似值的步骤，可借助于计算器一步步地求解，也可以借助于表格或数轴逐步缩小零点所在的区间，而运算终止的条件是区间长度小于精确度.,用二分法求函数f(
6、x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点(精确度0.1)【思路分析】依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤,【解】由于f(1)11110，f(x)在区间1,1.5上存在零点取区间(1，1.5)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：,|1.3751.3125|0.06250.1，函数的零点落在区间长度小于0.1的区间1.3125，1.375内，故函数零点的近似值为1.3125.,函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想，函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0
7、，然后通过方程进行研究许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决，函数与方程的思想是中学数学的基本思想,已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围【思路分析】可把函数转化为方程，其方程的两根满足x11，利用(x11)(x21)0求解；也可利用图象求解,【解】法一：设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.法二：函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2
8、a1.,【方法指导】此类方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想，利用根与系数的关系；二是函数思想，构造二次函数利用其图象分析，从而求解,方法技巧1函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间内的任一点均是这个函数零点的近似值,失误防范1把握函数的零点应注意的问题(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零(如课前热身
9、3题)(2)函数的零点也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标(3)一般我们只讨论函数的实数零点(4)函数的零点不是点，是方程f(x)0的根,2对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(a)f(b)0；(3)在(a，b)内存在零点事实上，这是零点存在的一个充分条件，但不必要,(2010年高考天津卷)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2),【答案】B【名师点评】本题考查零点所在区间的判断，其方法是利用零点存在性定理，试题难度不大，本题f(x)变为exx2时，零点所在区间是哪个？,2函数yf(x)在区间2
10、,2上的图象是连续的，且方程f(x)0在(2,2)上仅有一个实根0，则f(1)f(1)的值()A大于0 B小于0 C等于0 D无法确定解析：选D.由题意，知f(x)在(1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，f(1)f(1)符号不定，如f(x)x2，f(x)x.,3用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算，f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_，这时可判断x0_.解析：由二分法知x0(0,0.5)，取x10.25，这时f(0.25)0.25330.2510，故x0(0.25,0.5)答案：(0,0.5)f(0.25)(0.25,0.5),4已知函数f(x)|x|2x|，若函数g(x)f(x)a的零点个数不为0，则a的最小值为_,答案：2,本部分内容讲解结束,
