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1、第四节,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性凹凸性与极值,第三章,三、函数的极值及其求法,一、函数单调性的判定法,若,定理 1.设函数,则 在 I 内单调递增,(递减).,证:无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,证毕,P150 例1 例2,例3.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,习题.证明,时,成立不等式,证:令,从而,因此,且,P151 例4 例5,
2、*证明,令,则,从而,即,定义.设函数,在区间 I 上连续,(1)若恒有,则称,图形是凹的;,(2)若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.,图形是凸的.,二、曲线的凹凸与拐点,定理2.(凹凸判定法),(1)在 I 内,则 在 I 内图形是凹的;,(2)在 I 内,则 在 I 内图形是凸的.,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明(1)成立;,(2),设函数,在区间I 上有二阶导数,证毕,习题.判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的
3、凹凸性不变.,在其两侧二阶导数不变号,P153 例6 例7,例8.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,习题.求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,P155 例9,内容小结,1.可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,1.设在,.,2.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及
4、,;,;,有位于一直线的三个拐点.,1.求证曲线,证明：,备用题,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,三、函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点,称 为函数的极大值;,(2),则称 为 的极小点,称 为函数的极小值.,极大点与极小点统称为极值点.,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,定理 4(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,P157 例10 例11,习题.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极
5、值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,定理5(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,证:(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,例13.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,P158 例12,内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,思考与练习,1.设,则在点 a 处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性.,作业P159 T1 T3（1）T 4(1)T 14(1),2.设,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:利用极限的保号性.,3.设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,备用题.,求出该极值,并指出它是极大,
