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1、2023/10/27,1,常用函数的幂级数展开式,2023/10/27,2,第五节 函数的幂级数展开式的应用,第十二章,一、近似计算,三、欧拉公式,二、微分方程的幂级数解法,2023/10/27,3,一、近似计算,解:已知,故,令,得,于是有,2023/10/27,4,在上述展开式中取前四项,2023/10/27,5,(取,的近似值,精确到,解:,例2 计算定积分,2023/10/27,6,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,2023/10/27,7,二、微分方程的幂级数解法,当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时 我们就要寻求其它解法 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法
2、,其中函数f(x y)是(xx0)、(yy0)的多项式 f(x y)a00a10(xx0)a01(yy0)aim(xx0)l(yy0)m,这时可设所求特解可展开为xx0的幂级数 yy0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n 其中a1 a2 an 是待定的系数 把所设特解代入微分方程中 便得一恒等式 比较这恒等式两端xx0的同次幂的系数 就可定出常数a1 a2 从而得到所求的特解,幂级数解法基本思想,解,于是所求解的幂级数展开式的开始几项为,例1 求方程yxy2满足y|x00的特解,这时x00 y00 故设,ya1xa2x2a3x3a4x4,把y及y的幂级数展开式代入原方程 得,a12
3、a2x3a3x24a4x35a5x4,x(a1xa2x2a3x3a4x4)2,xa12x22a1a2x3(a222a1a3)x4,由此 比较恒等式两端x的同次幂的系数 得,定理,提示:,例2 求方程yxy0的满足y|x00 y|x01的特解,解,这里P(x)0 Q(x)x在整个数轴上满足定理的条件,因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数,ya12a2x3a3x24a4x3 nanxn1,ya0a1xa2x2a3x3a4x4,y2a2x32a3x43a4x2 n(n1)anxn2,把y及y代入方程yxy0 得,2a232a3x(43a41)x2(54a5a 2)x3(65a6a3)x4(n2
4、)(n1)an2an1xn+.=0.,由y|x01 得,由条件y|x00 得a00,a11,于是,a20 a30 a50 a60 a80 a90,2023/10/27,12,二、欧拉公式,(Euler formula),则称 收敛,且其和为,绝对收敛,收敛.,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于,故知,2023/10/27,13,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛.,当 y=0 时,它与实指数函数,当 x=0 时,的幂级数展式一致.,定义 复变量,2023/10/27,14,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,2023/10/27,15,据此可得,(德莫弗公式),利用幂级数的乘法,不难验证,特别有,2023/10/27,16,欧拉(1707 1783),瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论,微,还,写了大量力学,几何学,变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和,发展奠定了基础.,分学原理,积分学原理等,为分析学的重,在数学的许多分支中都有以他的名,字命名的重要常数,公式和定理.,
