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1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十二讲 函数的连续性,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求：了解函数极限的概念，知道运用“”和“X”语言描 述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会
2、判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。,第三章 函数的极限与连续性,第七、八节 函数的连续性及其性质,一、连续函数的概念,二.函数的间断点,连续函数的运算 及其基本性质,四.初等函数的连续性,一、连续函数的概念,极限形式,增量形式,设 f(x)在 U(x0)内有定义,若,则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.,1.函数连续性的定义(极限形式),可减弱：x0 为聚点,函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.,定义,是整个邻域,函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以
3、下三点：,函数 y=x2 在点 x=0 处是否连续?,函数 y=x2 在点 x=0 处连续.,又,且,y=x 2 在 U(0)内有定义,解,函数的连续性是通过极限定义的,当然可以 运用 语言描述它.,2.连续性的 语言形式,设函数 f(x)在 U(x0)内有定义.,若,当|x x0|时,有,则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.,|f(x)f(x0)|,成立,定义,3.连续性概念的增量形式,在某过程中,变量 u 的终值 u2 与它的,初值 u1 的差 u2 u1,称为变量 u 在 u1处的,增量,记为 u=u2u1.,定义,设函数 f(x)在 U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=x
4、x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.,=f(x0+x)f(x0),y=f(x)f(x0),x,y,O,x0,x,x,y,y=f(x),此时,x=x0+x,相应地,函数在点 x0 点处,有增量 y,连续性概念的增量形式,则称 f(x)在点 x0 处连续.,设 f(x)在 U(x0)内有定义.若,定义,4.函数的左、右连续性,设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义.若,则称 f(x)在 x0 点处右连续.,设函数 f(x)在(x0,x0 内有定义.若,则称 f(x)在 x0 点处左连续.,其中,为任意常数.,定义,定理,讨论 y=|x|,x()在点 x=0 处,y=|x|在点 x=0 处
5、连续.,x,y,y=|x|,O,的连续性.,解,讨论 y=sgn x 在点 x=0 处的连续性.,sgn x,1,x 0,sgn x|x=0=sgn 0=0,故符号函数 y=sgn x 在点 x=0 处不连续.,0,x=0,1,x 0.,解,讨论函数 f(x)=,x2,x 1,在 x=1 处的连续性.,函数 f(x)在点 x=1 处不连续.,故函数 f(x)在点 x=1 处是左连续的.,x+1,x 1,但由于,解,5.函数在区间上的连续性,设函数 f(x)在开区间(a,b)内有定义.,若 x0(a,b),f(x)在点 x0 处连续,则称 f(x)在开区间(a,b)内连续,记为,f(x)C(a,
6、b).,定义,若 f(x)C(a,b),且 f(x)在 x=a 处,右连续,在端点 x=b 处左连续,则称函数,f(x)在闭区间 a,b 上连续,记为,f(x)C(a,b).,对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性,定义,一般地,如果函数 f(x)在区间 I,上连续,则记为 f(x)C(I).,介绍李普希茨(Lipschitz)连续性、赫尔德(hlder)连续性.,二.函数的间断点,函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：,1.函数间断点的定义,满足下述三个条件中的任何一个,则称函数 f(x),在点 x0 处间断,点 x0 称为函数 f(x)的一个间断点：,定义,求函数间断点的途径
7、:,2.函数间断点的分类,函数的间断点,(1)第一类间断点,若 x0 为函数 f(x)的一个间断点,且,f(x)的第一类间断点.,则称 x0 为函数,定义,在 x=0 处的连续性.,y,x,O,1,y=sinx,yx+1,由图可知,函数在 点 x0 处间断.,故 x=0 是 f(x)的第一类间断点.,将左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃型间断点.,解,讨论,函数在 x=1 无定义,故 x=1 为函数的第一类间断点.,x=1 为函数的间断点.,y,x,O,1,1,P(1,2),y x+1,进一步分析该间断点的特点.,解,补充定义,则函数 f*(x)在 x=1 连续.,f*(x)=,2
8、 x=1,即定义,这种间断点称为可去间断点.,处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将,在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点,这个间断点的特点是该处的左、右极限存,第一类间断点,左右极限存在,极限不相等,极限相等、补充定义,(2)第二类间断点,凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.,这算定义吗？,定义,即左右极限至少有一个不存在的点.,讨论函数,x,y,O,在 x=0 无定义,x=0为函数的间断点,故 x=0为函数,的第二类间断点.,解,在 x=0 处无定义,又,不存在,故 x=0 为函数的第二类间断点.,看看该函数的图形.,解,O,1,1,x,y,第二类间断点,左右极限至少有一
9、个不存在,左右极限至少有一个为无穷,左右极限至少有一个振荡,连续函数的运算 及其基本性质,回忆函数极限的四则运算,则,回忆函数极限的四则运算,则,现在怎么说?,1.连续函数的四则运算,设函数 f(x)、g(x),fi(x)在点 x0 处连续,则,即,有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数.即,(2)有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数.即,(3)两个在点 x0 处连续函数的商,当分母不为 零时,仍是一个在点 x0 处连续函数.即,2.几个重要定理,这些定理与极限中的定理类似,x,y,y=f(x),y=|f(x)|,O,若 f(x)在区间
10、 I 上连续,则|f(x)|仍,在 I 上连续.,定理 1,x0I,由 f(x)在 x0 的连续性:,当|x x0|时,有,|f(x)f(x0)|,此时,由绝对值不等式得,|f(x)|f(x0)|f(x)f(x0)|,由 x0 的任意性,|f(x)|在区间 I 上连续.,(若 I 为闭区间,则对区间端点时指的 左,右极限.),证,该定理的逆命题不成立.,例如,f(x)=,1,x 为有理数,1,x 为无理数.,注意：,若函数 f(x)在点 x0 连续,且 f(x0)0,(或 f(x0)0,使当 xU(x0,),时,有 f(x)0(或 f(x)0).,定理 2,(保号性定理),能看出一点 什么问题
11、来 吗?,.,保号性的几何示意图,设函数 f(x)在点 x0 处连续.,则必 0,使当 xU(x0,)时,有,若 f(x0)0,推论,反函数的连续性,y=f 1(x)的图形只是 y=f(x)的图形绕直线 y=x 翻转 180 而成,故单调性、连续性仍保持.,设函数 y=f(x)在区间 I 上严格单调增加,区间 I*=y|y=f(x),xI 上严格单调增加,(减少)且连续.,定理 3,(反函数连续性定理),讨论复合函数的连续性,如果 y=f(u)在 u0 处连续,则,当|u u0|时,有|f(u)f(u0)|,再假设 u=(x),且在 x0 处连续,即,亦即,|u u0|=|(x)(x0)|,故
12、 对上面的,当|x x0|时,有,则,当|x x0|时,|u u0|=|(x)(x0)|,且有（假设可以构成复合函数）,|f(u)f(u0)|f(x)f(x0)|,有上面的推导,你想到了什么？,是关于复合函数的连续性定理？,怎么写出以上推导的结论?,自己想一想,动手写一下.,设函数 u=(x)在点 x0 处连续,且,这个条件有必要吗？,定理 4,(复合函数连续性定理),u=cos x 1 是在定义域内,的定义域是一个孤立点集,D=x|x=2k,kZ,每一点均不连续.,在定理 4 的条件下,在定理4 的条件下,极限符号可与连续函数 符号交换顺序.,推论,求,解,设函数 u=(x)的极限存在：,函
13、数 y=f(u)在点 u=a 处连续.,复合函数 f(x)当 x x0 时的极限存在,且,若复合函数 f(x)在,内有定义,则,定理 5,求,y=ln u 在其定义域内连续,故,（y=ln u 在 u=1 处连续）,解,由定理 5 容易得到下面几个幂指函数的极限公式：,函数 g(x)h(x)称为幂指函数,它的定义域,一般应要求 g(x)0.,时,幂指函数 g(x)h(x)也是连续函数.,当 g(x)与 h(x)均为连续函数,且 g(x)0,(3),(2),(1),四.初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内是连续的.,初等函数在其有定义的区间内连续.,注意两者的区别！,求,连续性给极限运算带来很大方便.,解,由于初等函数在其有定义的区间内是连续的,所以在其上是连续的.,解,处连续即可.即应有,解此方程组得所求:,谢谢观看！,
