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1、3 二元函数的连续性,无论是单元微积分还是多元微积分,其中,所讨论的函数,最重要的一类就是连续函数.,二元函数连续性的定义比一元函数更一般化,了些;而它们的局部性质与在有界闭域上的,整体性质,二者完全相同.,一、二元函数的连续性概念,二、有界闭域上连续函数的性质,一、二元函数的连续性概念,连续性的定义,则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形,下,也称 f 在点 连续.,若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D,上的连续函数.,由上述定义知道:若 是 D 的孤立点,则 必定是,f 的连续点.若 是 D 的聚点,则 f 关于集合 D 在点,连续等价于,如果 是
2、D 的聚点,而(2)式不成立(其含义与一元,函数的对应情形相同),则称 是 f 的不连续点(或,称间断点).特别当(2)式左边极限存在,但不等于,如上节例1、2 给出的函数在原点连续;例3、4、5,给出的函数在原点不连续.又若把上述例3 的函数改,为,上，这时由于,其中 m 为固定实数,亦即函数 f 只定义在,在坐标原点的连续性,因此 f 在原点沿着直线 是连续的,例1 讨论函数,解 由于当,在原点间断,全增量与偏增量,设,量形式来描述连续性,即当,为函数 f 在点 的全增量.和一元函数一样,可用增,时,f 在点 连续.,增量称为偏增量,分别记作,一般说来,函数的全增量并不等于相应的两个偏增,
3、量之和.,若一个偏增量的极限为零,如,由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该,函数的连续性(除非另外增加条件).例如二元函数,在原点处显然不连续,但由于 f(0,y)=f(x,0)=0,因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.,例2 设在区域,连续试证在下列条件之一满足时，,处处连续：,使得对任何,(ii)对其中一个变量(x)的连续关于另一个变量(y),是一致的,即,(iii)参见本节习题第 9 题(这里不作证明).,证(i),又当,(ii),又由 f 对 x 的连续关于 y 是一致的,故,这就证得,连续函数的局部性质,以及相应的有理运算的各个法则.下面只证明二元,若二元函数在某一点
4、连续,则与一元函数一样,可以,证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性,复合函数的连续性定理,其余留给读者自己去练习.,义,并在点 Q0 连续,其中,连续.,在点 的某邻域内有定义,并在,时,有,又由、在点 P0 连续可知:对上述,二、有界闭域上连续函数的性质,本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质.这,可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.,定理16.8(有界性定理与最大、小值定理)若二元,且能取得最大值与最小值.,又因 f 在D上连续,当然在点 也连续,于是有,这与不等式(3)矛盾，所以 f 是D上的有界函数.,下面证明 f 在 D 上能取到最大、小值.为此设,由前面的证明知道,F
5、 在 D上有界.又因 f 不能在 D,在 D 上有界的结论相矛盾,从而证得 f 在 D 上能取,到最大值.,定理16.9(一致连续性定理)若函数 f 在有界闭域,证 本定理可参照第七章中证明一致连续性定理的,理来证明.这里我们采用后一种证法.,方法,运用有限覆盖定理来证明,也可以运用聚点定,倘若 f 在 D 上连续而不一致连续,则存在某,由于 D 为有界闭域,因此存在收敛子列,上一致连续.,定理16.10(介值性定理)设函数f在区域,上连续,若P1,P2 为 D 中任意两点,且,则对任何满足不等式,证 作辅助函数,易见 F 仍在 D 上连续,且由(4)式知道,由于 D 为区域,我们可以用有限段
6、都在 D 中的折线,连结 P1 和 P2(如图 16-18).,若有某一个连接点所对应的函数值为 0,则定理得,证.否则从一端开始逐段检查,必定存在某直线段,使得 F 在它两端的函数值异号.不失一般性,设连结,P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线段含于D,其方程为,在此直线段上,F 变为关于 t 的复合函数：,由于 G 为 0,1 上的一元连续函数.且,因此由一元函数根的存在定理,在(0,1)内存在一点,有连通性的.,界闭集(证明过程无原则性变化).但是介值性定理,中所考察的点集 D 只能假设是一区域,这是为了保,证它具有连通性,而一般的开集或闭集是不一定具,续函数,则 f(D)必定是一个区间(有限或无限).,注2 由定理16.10 又可知道,若 f 为区域 D 上的连,例3,注1 定理16.8 与 16.9 中的有界闭域 D 可以改为有,证 由定理16.9 知道,这就证得,复习思考题,1.在一元函数连续性定义中,如何引入“孤立点必为,这两种说法有何不同？你喜欢哪一种说法?,等函数都是在其定义区间上的连续函数”.当引入了,“孤立点必为连续点”后，上述结论便可简单地说成,是:“任何初等函数在其定义域上处处连续.”试讨论,连续点”这个概念？,2.在讨论一元初等函数时有一个重要结论:“任何初,
