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1、2.2 函数的连续性,10 函数连续的概念,图(1)-(4)在 x0 处曲线出现间断;,图(5)曲线在 x0 处连续.,图形(5)的特征：,其中 即,定义：,f(x)在 x0 处连续的 语言描述：,设 在某邻域 内有定义,如果对任,f(x)在 x0 处连续的三要素：,（2）存在(设为A);,(3),f(x)在 x0 处左连续：,f(x)在 x0 处右连续：,f(x)在(a,b)内连续：,f(x)在 a,b 上连续：,定理,20 连续函数的运算性质,定理(连续函数的四则运算性质),连续函数经四则运算后,在其定义域上连续,基本初等函数的连续性,(1)基本三角函数在定义域上连续,由,可知：sinx，
2、cosx 在其定义域上连续.,再根据连续函数的四则运算性质知：,tanx，cotx，secx，cscx 在其定义域上连续.,所以,基本三角函数在定义域上连续,证明,对任意的 x0 R,证明,对任意的 x0 0,利用结论,(4)幂函数 f(x)=x(0)在其定义域上连续,证明,对任意的 x0 0,定理(反函数的连续性),证明 略,(5)反三角函数在其定义域上连续,从而有以下结论：,基本初等函数在定义域上是连续的,定理(复合函数的极限),证明,对任意的 因为 y=f(u)在 u0 处连续,从而得,定理证毕,推论,定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的,例如,30 函数的间断点及其分类,f(x)
3、在 x0 处连续的三要素：,（2）存在(设为A);,(3),（1）f(x)在某邻域 内有定义；,间断点的分类：,1、第一类间断点：,2、第二类间断点：,第一类间断点,第二类间断点,说明：,所以，F(x)在 x0 处连续,由于此时有,例 讨论下列函数的连续性：,解,(1)当 x0 时,当 x=0 时,f(x)无定义,可知 x=0 是间断点,由于,所以,x=0 是可去间断点,当 x=0 时,f(x)无定义,可知 x=0 是间断点,由于,所以,x=0 是函数 的第二类间断点.,(3)当 x0 时,因为,所以,x=0 是函数 的跳跃间断点,40 闭区间上连续函数的性质,定理(基本原理),定理(最值定理
4、),证明,由基本原理知：f(a,b)=m,M,又因对任意 x a,b 有,m f(x)M,所以,f(x)在 处取得最小值,在 处取得最大值,违反闭区间条件反例：,违反连续性条件反例：,定理（有界定理）,若 f(x)C a,b,则 f(x)在 a,b 上有界,证明,由基本原理知：对任意 x a,b 有,m f(x)M,所以 f(x)在 a,b 上有界,注意：定理中的两个重要条件：闭区间；连续性,一般不可减弱，否则结论未必成立,定理(介值定理),证明,如果 f(a)=f(b)=c,则可取,下设 f(a)f(b),不妨设 f(a)f(b),则对,注意：,此定理的条件一般不可减弱,反例：,几何意义：,任意 f(a)c f(b),定理(零值定理),证明,因为 f(a)与 f(b)异号,则,f(a)0 f(b)或 f(b)0 f(a),取 c=0,利用介值定理知,存在 使,几何意义：,例,证明：方程 在(1,2)中有实根.,证明,设,则 f(x)C a,b.,又 f(1)=-1,f(2)=3,根据零值定理,即方程 在(1,2)中有实根,
