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1、2023/10/27,1,2.矩阵的微分与积分,一、函数矩阵的微分,二、函数矩阵的积分,三、向量对向量的微分,2023/10/27,2,若 可微,其导数定义如下:,一、函数矩阵的微分,2023/10/27,3,同样,的高阶导数定义为,注 可导矩阵与连续矩阵的关系:,反之未必.,2.性质,设,是两个 可导矩阵,2023/10/27,4,是两个 的数阵,则,若 和 是两个常数,上述结论显然成立.,设,分别是 和 的可导矩阵,则,2023/10/27,5,特别地 对常数矩阵,有,证明 设,2023/10/27,6,所以,2023/10/27,7,注意,设 是区域 内的可逆方阵,其逆为,则,证明,两边
2、求导数得:,故,2023/10/27,8,设 是可导矩阵,又 是可导函数,则,证明 由 即得.,2023/10/27,9,解,例1 设,求,2023/10/27,10,注 若按 来直接求,则计算较复杂.,2023/10/27,11,1.定义 设 中每个元素 在 上是可积的,则称 在 上可积分,且定义,类似定义 的不定积分:,二、函数矩阵的积分,2023/10/27,12,2.性质,若 与常数阵 可乘,则,若常数阵 与 可乘,则,2023/10/27,13,解,例2 设,求 和,2023/10/27,14,例3 设,求,解,(这里,2023/10/27,15,三、向量对向量的微分,2023/10/27,16,定义1 当 是 维行向量,是向量 的数值函数,称,为向量 的数值函数 对 的导数(梯度）.,2023/10/27,17,数值函数 对向量 的导数的性质,(2),(1),2023/10/27,18,定义 2 是 维列向量,是 的 维列向量函数,称,为 维列向量函数 对 维列向量 的导数.当 时这种导数就是通常的Jacobi矩阵.,2023/10/27,19,2.向量对向量导数的性质,性质1,是 维列向量函数.是常数.则,2023/10/27,20,性质2 设 是 的常数阵,有,性质3,2023/10/27,21,例4,解：,
