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1、5.5 哈密顿正则方程,2,5.5.1 勒让德变换,广义动量,(2),定义另外一个函数，称为哈密顿函数,其中的 要用(3)代换。,哈密顿函数的定义式,3,5.5.1 勒让德变换,哈密顿函数的物理含义,若L不显含t,则,对于稳定约束系统，H即系统总能量,对于不稳定约束系统，H是广义能量,4,5.5.1 勒让德变换,勒让德变换的规则,以上从 到 的变换称为勒让德变换。,5,5.5.2 正则方程,正则方程的推导,(1),(2),6,5.5.2 正则方程,正则方程的推导,(3),(3)(4)比较可得哈密顿正则方程,以及,若L不显含t,则H也不显含t.,7,5.5.2 正则方程,相空间,s个广义坐标，和
2、s个广义动量，统称为正则变量，它们作为相互独立的变量，张开一个2s维空间，称为相空间。,相空间的一点，代表系统可能存在的一个状态，称为相点。,随时间变化，相点在相空间移动，划出一条曲线，代表系统状态的演化路径。,8,5.5.3 能量积分与循环积分,能量积分,9,5.5.3 能量积分与循环积分,循环积分,若H不显含某个广义坐标，则根据正则方程可得：,即相应的广义动量守恒。,注：这里的能量积分与循环积分，与从拉氏函数得到的能量积分和循环积分，结果是一样的。,10,例题 1,5.5 哈密顿正则方程,解：以平衡位置(即弹簧原长位置)为原点，建立一维x轴。,动能,势能,拉氏函数,广义动量,11,例题 1
3、,5.5 哈密顿正则方程,哈密顿函数,(1)(2)联立可得,即一维弹簧振子的运动微分方程,12,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,解：采用球坐标 描述,质点的速度,拉氏函数,广义动量,位矢,13,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,14,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,另一方面计算可得,可见(10)代表沿z方向的动量矩守恒。,但是z轴的方向是任意选择的，故沿任何方向都有动量矩守恒，从而系统动量矩守恒，即,分析：一、动量矩守恒,15,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,分析：二、平面运动,现在选择一个特殊的z轴方向：使初速度v0躺在z轴和初位矢r0所确定的平面内。,(10),则根据(10)式，可得初始时刻，以及后面任意时刻，都有,这意味着质点将始终保持在z轴和初位矢r0所确定的平面内运动。,z轴就是平面极坐标的极轴。,16,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,分析：三、简化正则方程,17,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,分析：四、最终的运动微分方程,即在垂直于运动平面方向上的动量矩守恒。,即径向运动微分方程,对(11)求导即得到横向运动微分方程。,18,结束,5.5 哈密顿正则方程,
