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1、微分方程,第六章,积分问题,微分方程问题,推广,几何问题,物理问题,来源：,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C=1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x,求该曲线的方程.,引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求 s=s(t).,常微分方程,偏微分方程
2、,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,例1.验证函数,是微分方程,的解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,转
3、化,可分离变量的微分方程、齐次方程,第二节,解分离变量方程,一、可分离变量方程,分离变量方程的解法:,设 y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x),=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C 为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解 y=0),例2.解初值问题,分离变量得,两边积分得,即,
4、由初始条件得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,解:显然y=0不是该问题的解，,解法 1 分离变量,即,(C 0),解法 2,故有,积分,(C 为任意常数),所求通解:,提示:,分离变量,例3.,二、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当 C=0 时,y=0 也是方程的解),(C 为任意常数),例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,解:,令,则,代入化简,并分离变量,两边积分,换回原变量,或,例3.解微分方程,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x 及 y=C,3.形如,的方程叫做齐次方程.,令,(解法:),
