学案9导数及其应用.ppt

《学案9导数及其应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学案9导数及其应用.ppt（55页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、1.了解导数的实际背景,理解导数的几何意义,熟记导 数基本公式,掌握导数基本运算.2.能利用导数确定函数单调性,求单调区间,求函数的 极值和最值.3.能利用导数解决实际问题.4.了解定积分基本定理的含义,会求简单的定积分.,学案9 导数及其应用,1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)解析 f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex,令f(x)0,解得x2.,D,2.设ab,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是（）解析 y=(x-a)(3x-2b-a),由y=0,得x=a或 当x=a时，y取极大值0，当

2、 时,y取极小值且极小值为负.或当xb时,y0,当xb时，y0.,C,3.(2009江西)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为()A.4 B.C.2 D.解析 由已知g(1)=2,而f(x)=g(x)+2x,所以f(1)=g(1)+21=4.,A,4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f(x),f(0)0,对于任意实数x,都有f(x)0,则 的最小值 为()A.3 B.C.2 D.解析 因为f(x)=2ax+b,依题意,有 可得c0,C,题型一 曲线的切线与函数的单调区间问题

3、【例1】(2009全国)已知函数f(x)=x4-3x2+6.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l 通过坐标原点，求l的方程.,解(1)f(x)=4x3-6x=4x(x+)(x-)当x(-,)和x(0,)时,f(x)0;当x(,0)和x(,+)时,f(x)0.因此,f(x)在区间(-,)和(0,)上是减函数,f(x)在区间(,0)和(,+)上是增函数.,(2)设点P的坐标为(x0,f(x0),由l过原点知，l的方程为y=f(x0)x，因此f(x0)=x0f(x0)，因此切线l的方程为,【探究拓展】一般地,涉及到函数的单调区间及求曲 线在某点处的切

4、线问题,往往借助于导数这一重要工 具求解,通过判断导函数的符号,确定函数的单调区 间,通过求出函数在某点处的导函数值,确定曲线在 此点处切线的斜率，进而求出切线方程.,变式训练1(2009安徽)已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a0,讨论f(x)的单调性.解f(x)的定义域是(0,+),设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判别式=a2-8.当=a2-80,即0a 时，对一切x0都有f(x)0,此时f(x)在(0,+)上是 增函数.当=a2-8=0,即a=时，仅对x=有f(x)=0，对其余的x0都有f(x)0，此时f(x)在(0,+)上也是增函数.,当=a2-80,即a时

5、，方程g(x)=0有两个不同的实根此时f(x）在(0,)上单调递增，在()上单调递减，在(,+)上单调递增.,题型二 函数的极值与最值问题【例2】(2009山东)已知函数f(x)=ax3+bx2+x+3,其 中a0.(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值？(2)已知a0,且f(x)在区间(0,1上单调递增,试用a 表示出b的取值范围.解(1)由已知得f(x)=ax2+2bx+1,令f(x)=0,得ax2+2bx+1=0,f(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解，所以=4b2-4a0,即b2a,此时方程ax2+2bx+1=0的根为,所以f(x)=a(x-x1)(x-x2).

6、当a0时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表：所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.,当a0时，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上，当a,b满足b2a时，f(x)取得极值.,(2)要使f(x)在区间(0,1上单调递增，需使f(x)=ax2+2bx+10在(0,1上恒成立.,【探究拓展】求解函数的极值与最值问题常常利用求 导的方法来解决,解决这类问题的一般方法是:(1)分 析得出函数的定义域；(2)判断函数是否可导，如可 导，则利用导函数求最值的方法进行求解,否则利用 函数性质求解；(3)如果一个函数在开区间内只有一 个

7、极值点，那么它也是相应的最值点.,变式训练2 设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根分别为(1)证明:f(x)在区间 上是增函数；(2)当a为何值时,f(x)在区间 上的最大值与最 小值之差最小.(1)证明 由方程2x2-ax-2=0的两根分别为 知x 时,2x2-ax-20,所以此时f(x)0,所以f(x)在区间 上是增函数.,(2)解 由(1)知在 上,f(x)是增函数.则f(x)在区间 的最小值为 最大值为所以当a=0时,f(x)在区间 上的最大值与最小值之差最小，最小值为4.,题型三 导数与不等式【例3】设函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(xR),其中a、bR.(1)当a=时，

8、讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范 围；(3)若对于任意的a-2,2,不等式f(x)1在-1,1上恒成立,求b的取值范围.,【解题示范】解(1)f(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).f(x)=x(4x2-10 x+4)=2x(2x-1)(x-2).令f(x)=0,解得 x1=0,x2=,x3=2.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0,),(2，+）内是增函数，在（-,0),(,2)内是减函数.,（2）f(x)=x(4x2+3ax+4),显然x=0不是方程 4x2+3ax+4=0的根.为使f(x)仅在

9、x=0处有极值,必须有4x2+3ax+40恒成 立，即有=9a2-640.解此不等式，得 这时，f(0)=b是唯一极值.因此满足条件的a的取值范围是.,(3)由条件a-2,2可知=9a2-640,从而4x2+3ax+40恒成立.当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.因此函数f(x)在-1,1上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.为使对任意的a-2,2,不等式f(x)1在-1,1上恒成立，当且仅当所以b-4,因此满足条件的b的取值范围是（-，-4.,【探究拓展】本小题主要考查了函数的单调性、导 数、极大(小)值及不等式恒成立问题,在解答这类问 题时,要注意利用导函数的符号判断单调

10、性,切记,导 函数的偶次重根不是极值点，解答不等式恒成立问 题,往往涉及函数的单调性，一定要判断出函数在所 给区间上的单调性，利用函数的单调性解题,能大大 简化解题过程，使解答变得简单明了.,变式训练3 已知函数(c0且c1,kR)恰有一个极大值点和一个极小值点.其中一个 是x=-c.(1)求函数f(x)的另一个极值点；(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M-m1 时k的取值范围.,解(1)由题意知f(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0.(*)c0,k0.由f(x)=0得-kx2-2x+ck=0，由韦达定理知另一个极值点为x=1(2)由(*)式得 当c1时,k0;当0c1时,k-

11、2.当k0时,f(x)在(-,-c)和(1,+)内是减函数，在(-c,1)内是增函数，,当k-2时，f(x)在(-,-c)和(1,+)内是增函数,在(-c,1)内是减函数，综上可知,所求k的取值范围为(-,-2),+).,【例4】(2009江苏)设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)1,求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)=f(x),x(a,+),直接写出(不需给 出演算步骤)不等式h(x)1的解集.解(1)若f(0)1,则-a|a|1,(2)记f(x)的最小值为g(a),则有f(x)=2x2+(x-a)|x-a|()当a0时,f(-

12、a)=-2a2,由知f(x)-2a2,此时g(a)=-2a2.()当a0时，若xa,则由知f(x)若xa,由x+a2a0,由知f(x)2a2 此时g(a)=综上，,【探究拓展】本小题主要考查函数的概念、性质、图 象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数 形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解 决问题的综合能力.,变式训练4 已知函数f(x)=x2-aln x在(1,2上是增函 数,g(x)=x-在(0,1)上是减函数.(1)求f(x)、g(x)的表达式；(2)求证:当x0时,方程f(x)=g(x)+2有唯一解；(3)当b-1时,f(x)2bx-在x(0,1内恒成立,求b的取值范围.

13、,(1)解 f(x)=2x-，依题意f(x)0,x(1,2,即a2x2,x(1,2.上式恒成立，a2.又g(x)=1-,依题意g(x)0,x(0,1),即a,x(0,1).上式恒成立，a2.由得a=2.f(x)=x2-2ln x,g(x)=x-,(2)证明 由(1)可知,方程f(x)=g(x)+2,令h(x)0,并由x0，令h(x)0,由x0,解得0 x1.列表分析：,知h(x)在x=1处有一个最小值0,当x0且x1时,h(x)0，h(x)=0在(0,+)上只有一个解.即当x0时，方程f(x)=g(x)+2有唯一解.(3)解所以b的取值范围为-1b1.,【考题再现】(2009海南)已知函数f(

14、x)=(x3+3x2+ax+b)e-x.(1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,证明:【解题示范】(1)解 当a=b=-3时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x，所以f(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x=-e-x(x3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x.2分 当x-3或0 x3时,f(x)0；,当-3x0或x3时,f(x)0.3分从而f(x)在(-,-3),(0,3)上单调递增，在(-3,0),(3,+)上单调递减.4分(2)证明 f(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x+(3x2+6x+

15、a)e-x=-e-xx3+(a-6)x+b-a.由条件得:f(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a,6分从而f(x)=-e-xx3+(a-6)x+4-2a.,将右边展开，与左边比较系数得，,1.导数的实质是变化率的极限，其几何意义是曲线在 某点处切线的斜率.2.对于可导函数，利用导函数的符号来确定原函数的 单调性并进而确定单调区间,在求函数式中某些参变 量的取值范围时，要注意导函数的符号加上等号.3.对于可导函数,在利用导数求函数极值时,要注意极 值点处导函数为零,而导函数为零的点不一定是极值 点,如f(x)=x3,因为f(x)=3x2,所以f(0)=0,而在 x=0的左右

16、两侧f(x)=3x20，则原函数递增，所以 x=0不是原函数极值点;所,以f(x)=(x-1)2，则f(1)=0，而在x=1的左右两侧 f(x)=(x-1)20，则原函数递增,所以x=1不是原函 数的极值点.由此可知导函数的偶次重根不是原函数 的极值点.导函数为零是函数取到极值的必要不充分 条件.特别地，函数不可导点(如尖点)也可能是极值 点.4.要准确理解定积分概念，熟练利用定积分公式解答 有关问题,特别是被积函数上、下限的确定以及对谁 进行积分的选择也要灵活确定.,一、选择题1.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切 线倾斜角的取值范围是 则点P横坐标的取值范 围为()

17、A.B.-1,0 C.0,1 D.解析 y=x2+2x+3，y=2x+2.曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是 曲线在点P处的切线斜率0k1.02x0+21,-1x0.,A,2.(2008全国)设曲线 在点(3,2)处的切线 与直线ax+y+1=0垂直,则a等于()A.2 B.C.D.-2解析 曲线 在点(3,2)处的切线 斜率为k=y|x=3=.由题意知ax+y+1=0的斜率为k=2,a=-2.,D,3.若函数 则f(x)在点(0,f(0)处切线的倾斜角为()A.B.C.D.解析 由题意可知f(x)=x2+f(1)x-f(2),令x=0,得f(0)=-f(2),令x=1,得f(2

18、)=1,所以f(0)=-1，,D,4.(2008湖北)若f(x)=x2+bln(x+2)在(-1,+)上 是减函数,则b的取值范围是()A.-1,+)B.(-1,+)C.(-,-1 D.(-,-1)解析 由题意知 即-x2-2x+b=-(x+1)2+1+b0.1+b0,b-1.,C,5.(2009安徽)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程 是()A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3解析 由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-

19、8,即2f(x)-f(2-x)=x2+4x-4,f(x)=x2，f(x)=2x,切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.,A,6.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,且|x1|x2|,则有()A.a0,b0,c0,d0 B.a0,b0,c0,d0 C.a0,b0,c0,d0 D.a0,b0,c0,d0 解析 因f(x)=3ax2+2bx+c,由题 意可知导函数f(x)的图象如图,所以a0,c0,则b0,由原函数图象可知d0.,C,二、填空题7.若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数 a的取值范围是_.解析 由题意可知 又因为存在垂直于y轴的切

20、线，8.(2008江苏)直线 是曲线y=ln x(x0)的 一条切线,则实数b=_.解析(ln x)=,令,得x=2,故切点坐标为(2,ln 2),将其代入直线方程,得ln 2=2+b,所以 b=ln 2-1.,(-,0),ln 2-1,9.函数f(x)=ax3-2ax2+(a+1)x-log2(a2-1)不存在极值 点，则实数a的取值范围是_.解析 a2-10,a1或a-1;又函数f(x)不存在极值点，令f(x)=3ax2-4ax+a+1=0,则=16a2-43a(a+1)=4a(a-3)0,所以0a3,综上可知:1a3.,1a3,10.数学表达式 的值为 _.解析 原式,ln 2,三、解答

21、题11.设M是由满足下列两个条件的函数f(x)构成的集 合:定义f(x)-x=0有实根；函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.(1)若 判断方程f(x)-x=0的根的个数;(2)判断(1)中的函数f(x)是否为集合M的元素；(3)对于M中的任意函数f(x),设x1是方程f(x)-x=0的 实根,求证:对于f(x)定义域中任意的x2,x3,当|x2-x1|1,|x3-x1|1时,有|f(x3)-f(x2)|2.,(1)解 令F(x)=f(x)-x,即-1cos x1,F(x)0.F(x)=f(x)-x是单调递减函数.(或说明F(x)为奇函数).方程f(x)-x=0在其定义域上有唯一实根.,

22、(2)解 由(1)知方程f(x)-x=0有实根(或者由f(x)-x=0,易知x=0就是方程的一个根),f(x)满足条件.f(x)满足条件.故f(x)是集合M中的元素.,(3)证明 不妨设x2x3,由0f(x)1,知f(x)在其定义域上是增函数.f(x2)f(x3).又f(x)-10,y=f(x)-x是其定义域上的减函数.f(x2)-x2f(x3)-x3,即0f(x3)-f(x2)x3-x2.|f(x3)-f(x2)|x3-x2|=|(x3-x1)-(x2-x1)|x3-x1|+|x2-x1|1+1=2.,12.已知函数f(x)=x2+ln x.(1)求函数f(x)在1,e上的最大值、最小值；(2)求证:在区间1,+)上,函数f(x)的图象在函数 的图象的下方；(3)求证:f(x)n-f(xn)2n-2(nN*).(1)解 f(x)=x+,当x1,e时,f(x)0,f(x)在1,e上是增函数.故f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(e)=e2+1.,(2)证明x1时,F(x)0,故F(x)在1,+)上是减函数.又F(1)=0，故在1,+)上,F(x)0，函数f(x)的图象在函数 的图象的下方.,(3)证明 x0,f(x)n-f(xn)当n=1时,不等式显然成立；当n2时,有f(x)n-f(xn)f(x)n-f(xn)2n-2(nN*).,返回,