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1、第十五章 几何证明选讲,第三课时 圆锥曲线性质的讨论,知识梳理,一、平行投影1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段.2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线.3.平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长.4.与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等.5.不与方向向量平行的线段在平面上的投影，是由该线段的两个端点的投影所连成的线段，线段上的点分线段的比与它的象分投影所成线段的比相等.,二、平面与圆柱面的截线若一平面与圆柱面的轴线所成的角为锐角,则平面与圆柱面所截得的曲线是椭圆.并分别用平行投影的性质和丹迪林（Dandelin）双球证明上述结论.此椭圆的离心率e=cos.,三、平面与
2、圆锥面的截线定理：在空间中,取直线l为轴,直线l与l相交于O点,其夹角为,l(围绕l旋转得到以O为顶点,l为母线的圆锥面,任取平面,若它与轴l交角为(与l平行,记=0),则平面与圆锥的交线为圆锥曲线,其离心率为e=cos/cos,有1.,平面与圆锥的交线为椭圆;2.=,平面与圆锥的交线为抛物线;3.,平面与圆锥曲线的交线为双曲线.,基础自测,1.RtABC的斜边BC在平面内，顶点A在平面外，则ABC的两条直角边在平面内的射影与BC边组成的图形是（）A.一条线段或一个锐角三角形B.一条线段或一个钝角三角形C.一个钝角三角形D.一个锐角三角形,答案：B,2.如图在正四面体A-BCD中，E、F、G分
3、别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（）A.B.C.D.,答案：C,3.一平面截球面产生的截面形状是_；它截圆柱面产生的截面形状是_.,答案：圆 圆或圆锥,4.设圆柱的底面半径为4，圆柱的截面与圆柱的轴所成的角为60，则所截得的椭圆的焦距为_.,答案：8*31/2/3,典例试解,如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是（）A.内心的平行投影仍是内心B.重心的平行投影仍是重心C.垂心的平行投影仍是垂心D.外心的平行投影仍是外心,解析：当三角形所在平面不与方向向量平行时，经投影后，各线段所成角会改变，原来垂直的，经投影后不再垂
4、直，故C、D错，原三角形的内切圆经投影后会成为一个椭圆，故A错，而一线段的中点经投影后仍为投影的中点，故选B.答案：B,两个半径分别为3,5的球,它们的球心之间的距离为7,求两球的所有交点组成的曲线的周长.解析:设球O1的半径为3,球O2的半径为5,由于两球心间的距离为73+5,类比平面中两圆的位置关系,故两球相交,且所有的交点组成一个圆,是过两球心的一个截面,则交点圆是以AB为半径的圆,O1AO2中,cosO1AO2=(32+52-72)/(235)=-1/2,O1AO2=120,又AO2sinAO1O2=O1O2/sin120 sinAO1O2=(531/2/2)/7=5*31/2/14A
5、B=O1AsinAO1O2=5*31/2/14.所以两球的所有交点组成的曲线(圆)的周长为15*31/2/7.,点评：空间里球的问题，常常与平面内圆的问题进行类比，往往会起到化难为易的功效.,证明:长半轴长为a,短半轴长为b的椭圆的面积为ab.,解析:设A,B是长轴的两个端点,则将A置于平面内,将B端抬起,总能使椭圆AB在平面内的射影是一个半径为b的圆,不妨设此时椭圆所在平面与平面所成的角为,即图中BAC=,cos=2b/2a=b/a,另一方面,设椭圆的面积为S椭圆,射影圆的面积为S圆,则根据二面角的射影定理,有cos=S射影/S斜=S圆/S椭圆,S椭圆=S圆/cos=b2/(b/a)=ab.
6、,已知圆柱面的半径等于2 cm,一个截割圆柱的平面与圆柱面的轴线成60角,从割平面上下放入圆柱面的两个内切球,并且它们都与截平面相切,则两个内切球的球心间的距离为_.,解法一:如右图,设球与截面的切点分别为F1,F2,O1F1F1F2,O2F2F1F2,所求的距离为O1O2,设O1O2与F1F2的交点为O,由对称性知O1O2=2 O1O,Rt O1F1中有O1OF1=60,O1O=O1F1/sinO1OF2=2/(31/2/2)=4*31/2/3,O1O2=(8*31/2)/3.,解法二：依题意可知，截割面与圆柱相交，所得交线的形状是椭圆，且离心率e=cos60=1/2，圆柱的直径为4cm，故椭圆长轴长为4/sin60=(8*31/2)/3，而两球的球心距离等于椭圆的长轴长.两球的球心距离等于(8*31/2)/3cm.答案：(8*31/2)/3cm,一圆锥侧面展开图为半圆，平面与圆锥的轴成45角，则平面与该圆锥侧面相交的交线为（）A.圆 B.抛物线C.双曲线D.椭圆解析：圆锥侧面展开图为半圆，圆锥的母线与轴成30角，而平面与圆锥的轴成45角，故平面与该圆锥侧面相交的交线为椭圆.答案：D,课时升华,1.由于圆柱、圆锥与球都是旋转体,所以研究它们的问题可用它们的轴截面来帮助分析研究.2.空间里球的问题，常常与平面内圆的问题进行类比，往往会起到化难为易的功效.,祝,您,学业有成,
