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1、2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平面问题中的一点应力状态分析 2.3 平面问题的平衡微分方程 2.4 平面问题的几何方程与刚体位移 2.5 平面问题的物理方程 2.6 平面问题的边界条件 2.7 圣维南原理及应用 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题及相容方程 2.10 常体力情况下的简化与应力函数,主要内容,2.10 常体力情况下的简化及应力函数,当实际工程问题中体力为常量，即体力分量fx，fy 不随x和y座标改变时（如重力和常加速度平移时的惯性力），此时，两类平面问题的都能得到简化。将上述条件代入式（2-21）或（2-22），得常体力时的相容方程：,此外，还满
2、足平衡微分方程：,和应力边界条件：,(2-23),2.10 常体力情况下的简化及应力函数,体力为常量时，按应力法求解平面问题时，应力分量sx、sy、txy满足的方程为：（1）平衡微分方程(2-2)；（2）简化后的相容方程(2-23)；（3）同时在边界上满足应力边界条件(2-15)；（4）对于多连体，还须考虑位移的单值条件。,在（1）常体力、（2）单连体、（3）全部为应力边界条件时，平面问题的应力解具有如下特征：在-条件下求解应力分量的全部条件中均不包含弹性常数，故应力分量解与弹性常数无关。,2.10 常体力情况下的简化及应力函数,由于应力解与弹性常数无关，故对于两类平面问题都相同。因此，当体力
3、为常量，只要弹性体受外力和边界形状相同，则:（1）不同材料的应力解理论上是相同的，因此用试验方法求应力时可用不同材料来代替；（2）两类平面问题的应力解sx、sy、txy是相同的。试验时可用平面应力模型代替平面应变模型。（3）两类平面问题应力解sx、sy、txy相同，但是 sz 和应变、位移分量的分布不一定相同。,2.10 常体力情况下的简化及应力函数应力函数,1、首先考察平衡微分方程，它是一个非齐次微分方程组，其解包含两部分，即其全解等于非齐次微分方程的特解与齐次微分方程的通解的叠加。,（1）非齐次微分方程的特解：,下面详细讨论常体力情况下按应力求解的基本方程和条件,2.10 常体力情况下的简
4、化及应力函数应力函数,（2）齐次微分方程的通解：,艾里已经求出该方程的通解为：,2.10 常体力情况下的简化及应力函数应力函数,（3）所以满足平衡微分方程的全解为：任一组特解与通解的叠加：,式中 f 称为平面问题的应力函数，又称为艾里应力函数。它是一个待定的未知函数，必然满足平衡微分方程，导出应力函数的过程已证明了其存在性。它使得按应力求解平面问题的未知数由3个减少为1个，由求解应力分量sx、sy、txy转化为求解应力函数 f。,2.10 常体力情况下的简化及应力函数应力函数,2、为了求解平面问题的应力函数，下面来分析应力函数所满足的条件。,很显然，用应力函数表示的应力分量（2-24）必须满足
5、常体力情况下用应力分量表示的相容方程（2-23），为此将式（2-24）代入（2-23）,用应力函数表示的相容方程,2.10 常体力情况下的简化及应力函数总结,总之，体力为常量时，按应力法求解平面问题，可转化为求解一个应力函数 f，它应当满足条件为：1、在区域内满足应力函数表示的相容方程(2-25)2、在边界上满足应力边界条件(2-15)，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。3、对于多连体，还须考虑位移的单值条件。,相容方程：,应力边界条件：,2.10 常体力情况下的简化及应力函数总结,根据上述条件求得应力函数 f后，代入公式（224）即可求出应力分量。,求得应力分量 sx、sy、txy后，
6、代入物理方程(2-12)求应变分量，将应变分量代入几何方程(2-8)，通过积分求位移分量，其中的积分待定项由边界约束条件来确定。,总结,平面问题求解方法1、按位移2、按应力3、按应力函数各求解方法推导过程及对比,1、在常体力，单连体和全部为应力边界条件条件下，对于不同材料和两类平面问题的sx，sy和txy 均相同。试问其余的应力分量，应变和位移是否相同？,思考题,2、对于按位移(u,v)求解、按应力(sx,sy,txy)求解和按应力函数求解的方法，试比较其未知函数、应满足的方程和条件、求解的难易程度及局限性。,2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平面问题中的一点应力状态分析 2.3 平
7、面问题的平衡微分方程 2.4 平面问题的几何方程与刚体位移 2.5 平面问题的物理方程 2.6 平面问题的边界条件 2.7 圣维南原理及应用 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题及相容方程 2.10 常体力情况下的简化与应力函数,主要内容,习题课,第二章平面问题的基本理论,习题课,1、如图所示，试写出应力边界条件（固定边不写）。,x=0边界：,y=h/2边界：,y=-h/2边界：,习题课,2、如图所示，试写出各平面物体的位移边界条件（用直角坐标表示），其中图（b）中O点不动，过O点的水平线段无转动。,(u)x=0,y=-h/2=0(u)x=0,y=h/2=0(v)x=0,y=
8、h/2=0,(u)x=0,y=0=0(v)x=0,y=0=0,(u)x=0,y=0=0(v)x=0,y=0=0(u)x=l,y=0=0(v)x=l,y=0=0(v)x=l,y=h/2=0,(u)x=0,y=0=0,(v)x=0,y=0=0(ucosa+vsina)x=l,y=0=0,习题课,3、如图所示的梁，受到荷载如图，试应用下列应力表达式求其应力并校核。（体力不计）,习题课,解：按应力法求解。其满足条件为:(1)平衡微分方程(2)相容方程(3)边界条件,一、校核平衡微分方程 经校核是满足的。,二、校核相容方程 经校核是满足的。,习题课,三、校核边界条件：,先校核主要边界上边界条件:,得到应
9、力分量解答如下：,由此解得：C1=-3q/(2h)C2=-q/2,习题课,再校核次要边界x=0上边界条件:,将所求应力代入，经校核，三个等式均成立，故所求应力满足该小边界上的积分边界条件。,边界上应满足的积分边界条件为:,习题课,校核次要边界 x=l 上边界条件:,边界上应满足的积分边界条件为:,将所求应力代入，经校核，三个等式均成立，故所求应力满足该小边界上的积分边界条件。,习题课,综上，所求的应力分量满足所有的条件，因此是如图所示问题的解。,习题课,4、习题217,解：根据材料力学相关知识，其应力分量解如下：,习题课,该应力分量解应满足的条件为：(1)平衡微分方程(2)相容方程(3)边界条
10、件,一、校核平衡微分方程 经校核是满足的。,二、校核相容方程 经校核是满足的。,习题课,三、校核边界条件：,主要边界上边界条件为:,将应力代入，经校核，两个等式均成立，故所求应力满足两个主要边界上的应力边界条件。,习题课,再校核次要边界x=0上边界条件:,边界上应满足的积分边界条件为:,将所求应力代入，经校核，三个等式均成立，故所求应力满足该小边界上的积分边界条件。,习题课,再校核次要边界x=l上边界条件:,边界上应满足的积分边界条件为:,将所求应力代入，经校核，三个等式均成立，故所求应力满足该小边界上的积分边界条件。,习题课,综上，所求的应力分量满足所有的条件，因此是如图所示问题的解。,习题
11、课,5：如图所示单位宽度薄板悬梁，跨度为l，其上表面承受三角形分布载荷作用，体力不计。试根据材料力学的应力表达式，由平衡微分方程及边界条件求另两个应力分量，并校核是否为该问题解。（固定端不考虑）,习题课,解：（1）将sx代入平衡微分方程第一式,（2）将txy代入平衡微分方程第二式,习题课,（3）校核边界条件，并由此求表达式中的待定函数,主要边界 y=h/2 上边界条件:,解得：,习题课,（3）校核 y=-h/2 上的边界条件,(txy)y=-h/2=0,(sy)y=-h/2=-q0 x/l,将应力代入，经校核，两个等式均成立，故所求应力满足该主要边界上的应力边界条件。,习题课,再校核次要边界x=0上边界条件:,该边界上应满足的积分边界条件为：,将所求应力代入，经校核，三个等式均成立，故所求应力满足该小边界上的积分边界条件。,习题课,（4）校核相容方程,因此，上应力解不是该问题的解。,将应力代入，经校核不满足。,作业,作业3：已知平面应力问题矩形梁（厚度为单位厚度1），梁长L，梁高h，体力不计。试根据如下位移分量函数：解答如下问题：（1）试校核上述位移分量是否满足位移表示的平衡微分方程；（2）求应变分量；（3）求应力分量；（4）校核各边界上的应力边界条件。（在次要边界上应用圣维南原理）。（固定端不考虑）,作业,作业4：习题213（b）,
