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1、第四讲 曲线运动及万有引力定律,【知识要点】,一、运动的合成与分解 位移、速度、加速度都是矢量，矢量的合成、分解都遵守平行四边形定则二、平抛运动 物体在一定的高度处以一定的初速度水平抛出，抛出后只在重力作用下的运动叫平抛运动三、匀速圆周运动 轨迹是圆周的运动叫圆周运动物体做圆周运动时，如果在任何相等的时间里通过的圆弧长度都相等，这种运动叫做匀速圆周运动四、万有引力定律及应用 任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两个物体质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比,一、运动的合成与分解 位移、速度、加速度都是矢量，矢量的合成、分解都遵守平行四边形定则,1运动合成 求几个运动的合运动，包括合位移、
2、合速度、合加速度，叫做运动的合成运动的合成遵守平行四边形定则合运动具有如下特征：(1)等时性：分运动与合运动是同一时间内完成的，即把物体的各分运动联系起来的物理量是时间t，各分运动总是同时开始，同时结束(2)独立性：在运动中，一个物体可以参与几种不同形式的运动，任何一个方向上的运动都按其本身规律进行，不会因其他方向运动的存在(或运动发生变化)而受到影响2运动的分解 求某一个运动的分运动(运动合成的逆运算)，叫运动的分解分解一个运动时，要依据运动实际效果确定分解方向,例:相对运动问题要涉及运动的合成和分解,在研究物体的运动涉及两个参照物(一个静止的参照物、一个运动的参照物)时，此时研究对象相对运
3、动参照物的运动叫相对运动。运动参照物相对静止参照物的运动叫牵连运动。研究对象相对静止参照物的运动叫绝对运动。这三个运动的关系是：绝对运动等于相对运动加牵连运动，这种相加是矢量相加。,二、平抛运动 物体在一定的高度处以一定的初速度水平抛出，抛出后只在重力作用下的运动叫平抛运动。,1特点:只受重力作用，a=g恒定，因此是匀变速曲线运动。2规律:平抛运动是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动，如图所示。,（1）速度：,平抛运动是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动，如图所示。,（2）位移：,（3）下落时间：,(4)轨迹方程,平抛:,平抛可看作是水平方向的匀
4、速运动与竖直方向自由落体运动的合运动.X=V0t,Y=gt2/2,三、匀速圆周运动 轨迹是圆周的运动叫圆周运动物体做圆周运动时，如果在任何相等的时间里通过的圆弧长度都相等，这种运动叫做匀速圆周运动,1、描述匀速圆周运动的物理量（1）周期T：物体沿圆周运动一周所用的时间。在国际单位制，周期的单位是秒。（2）频率f：单位时间内物体转过的圈数。在国际单位制中，频率的单位是赫兹。（3）线速度v：物体通过圆弧各点时的速度。其大小等于物体通过的弧长与通过这段弧长所用的时间之比，表示为：v=s/t=2r/T（4）角速度：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径所转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的
5、角速度。表示为：=2/T 匀速圆周运动的角速度是个恒星，国际单位是弧度秒。,（7）向心力：产生向心加速度的力叫做向心力。,（5）T、f、v、的关系,(6）向心加速度a：物体做匀速圆周运动时，它在任意一点的加速度都指向圆周中心，故称为向心加速度。,方向：指向圆心，时刻在变化。,方向：始终指向圆心。,2、向心力公式的应用,求解圆周运动问题，关键是明确向心力的来源，即什么力充当向心力现将常见的几种情况归纳如下(1)水平面内的匀速圆周运动 例如：放在水平圆盘上的物体随圆盘转动、火车转弯、锥摆等问题(2)竖直平面内的圆周运动 例如：物体通过拱桥或凹桥的问题；绳子一端系一个物体，在竖直面内做圆周运动的问题
6、(3)竖直平面内的圆周运动与机械能守恒定律相结合的问题.,例1:水平面内的匀速圆周运动,例2:锥摆,火车转弯,例3:竖直平面内的圆周运动,例4:竖直平面内的圆周运动与机械能守恒定律相结合的问题,四、万有引力定律及应用,1万有引力定律 任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两个物体质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。表示为,其中，G称为万有引力常量，G6.6710-11Nm2/kg2。注意点：（1）万有引力公式只适用于两个质点，但对于两个质量分布均匀的球体也可用此式计算，只是把球的质量视为集中在球心，r就是两球心间的距离。如果两个物体间的距离远远大于两物体的线度，也可用此式计算。（2）两
7、个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力。,万有引力定律的发现,规律的发现：,中学物理在讲述万有引力定律之前总要介绍开普勒定律，这是由于万有引力定律的发现与开普勒定律是密不可分的。,式中r代表行星的轨道半径，T代表行星的公转周期。又根据牛顿第二定律，太阳对行星的引力是行星做匀速圆周运动的向心力，,若把行星绕太阳的运动近似地认为是匀速圆周运动，根据开普勒第三定律,(1),式中的m2表式行星的质量。,(2),式中的G是个比例恒量。(4)式已是万有引力定律的表达形式了。,由(1)、(2)两式可得,(3),由上式可知，太阳对行星的引力与行星的质量成正比，与行星的轨道半径(即行星到太阳间的距离)的平方成
8、反比。合理的逻辑，太阳与行星间的引力是相互的，引力的大小既与行星的质量成正比，也应与太阳的质量成正比，即引力的大小与太阳的质量和行星的质量的乘积成正比，与行星到太阳的的距离的平方成反比，即,(4),牛顿还研究了卫星绕行星运动的规律，他得出结论：行星和卫星之间的引力跟太阳和行星之间的引力是同一种性质的力，遵守同样的规律。于是牛顿把这种引力规律做了合理的推广，发现了万有引力定律。,2万有引力定律的应用,（1）天体运动参数的计算：如已知中心天体的质量、行星或卫星的轨道半径，求行星或卫星的线速度、角速度、周期。（2）天体质量的计算：如已知行星或卫星的轨道半径、周期（或线速度、角速度），求中心天体的质量
9、及密度。基本方程是：,【典型例题】,例1 如图(甲)所示，水平半径为R的大圆盘，以角速度绕通过其圆心的竖直轴匀速转动，俯视图如图所示有人站在盘边P点上随盘转动，他想用枪击中在圆盘上的中心目标O，设子弹的速度是v0，则 A.枪应瞄准目标O射击 B.枪应向PO的右方偏过角射击，且cos=R/v0 C.枪应向PO的右方偏过角射击，且tan=R/v0 D.枪应向PO的右方偏过角射击，且sin=R/v0,例2 从高H的地方平抛一物体A，其水平射程为2s在A物正上方高为2H的地方，以相同方向平抛另一物体B，其水平射程为s两物体在空中运行轨迹亦在同一竖直平面内，且都从同一个屏的顶端M通过，求屏的高度,分析
10、先画出此题的运动轨迹，如图屏MN的顶点M即是A，B两物体平抛运动轨迹的交点利用此交点列出方程求解,解:设A物体抛出速度为vA,B物体抛出速度为vB,则,由以上两式得,设A物从抛出到屏顶点的时间为tA,B物从抛出到屏顶点的时间为tB,屏顶点的坐标为(x,y),则,对A:,对B:,由以上各式的,例2滑雪运动员由a点沿水平方向冲出跳台，到b点落在雪坡上，a、b两点直线距离L=40m，雪坡ab与地平面夹角=30，如图所示，空中飞行的时间t。,分析：滑雪运动员在空中飞行是平抛运动。平抛运动是竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速运动的合运动，按此规律列方程求解。,解：滑雪运动员由a到b的运动时间为t，竖
11、直方向下降的高度为,水平方向的位移为,由图1-5可知,由图1-5中的勾股弦定律可得,答：滑雪运动员冲出跳台时的速度为17.3m/s，他在空中飞行的时间为2s.,由、式可解出,例3 如图所示，甲轮和乙轮半径之比是21，A，B两点分别为甲乙两轮的边缘上的点，C点在甲轮上，它到转轴的距离是甲轮半径的1/4，甲轮以角速度转动，皮带不打滑，求A，B，C三点的(1)线速度大小之比；(2)角速度大小之比；(3)向心加速度大小之比,分析 由于皮带转动中不打滑，则表示两轮边缘上的点的线速度大小相等处于同一轮上的点，则表示各点的角速度大小相等,例4飞机在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径是180m，飞行员的质量是7
12、0kg。求：（1）飞行员在到达圆周的最高点不致脱离座位的最小速度是多大？（2）以同样的速度通过圆弧的最低点，飞行员对座位的压力又是多大？,分析：当飞机达到圆弧的最高点时，如果飞行员所受的重力全部供给飞行员作圆周运动的向心力，飞行员就正好不脱离座位。在过圆弧的最低点时，飞行员受到两个力的作用：重力mg和竖直向上的座位对它的弹力N，它们的合力就是供给飞行员作圆周运动的向心力。而飞行员对座位的压力N/与N的数值相等。,解答：（1）设飞行员到达圆周的最高点时的最小速度为v，则,答：飞行员对座位的压力N/是弹力N的反作用力，所以N/=1372牛。,（2）飞行员到达最低点时,例5:(1)在地球表面上物体的
13、重力是否就是万有引力？(2)在地球表面重力加速度都相等吗？为什么？,解答:(1)地球在不断地自转，地面上一切物体随地球都在作圆周运动，这些圆周平面垂直于地轴而和纬线相合。作匀速圆周运动的物体需要向心力，这个向心力是由地球对物体的引力来维持。因此地球上物体的重力应该等于它受到的地球引力和它随同地球自转所需向心力的矢量差。从上面分析可知，物体的重力是由地球对物体的引力而产生的。除两极（两极处无向心力）外，物体重力都不等于万有引力。应该指出，重力和万有引力的差值是不大的。以需要向心力最大的赤道为例，向心力仅是万有引力的0.34%，重力是万有引力的99.66%，相差是很小的。,解答:(2)在地球表面，
14、赤道处的重力加速度最小。重力加速度随着纬度的增加而增加，到两极处的重力加速度为最大。地球表面上的物体随地球自转作圆周运动所需要的向心力等于m2Rcos，其中Rcos，是物体在某纬度处作圆周运动的半径。向心力由万有引力提供，因此物体的重力等于万有引力和向心力两者的矢量差。即mg=F-F（F为万有引力，F 为某纬度处的向心力），如图所示。因为F=m2Rcos，可知在=0时，F 最大。在=90时，F最小。,例6:用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离开地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地面处的重力加速度，0表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为,分析 人造
15、卫星所受地球的万有引力即为卫星的重力，也就是，卫星绕地运转(视为匀速率圆周运动)所需要的向心力,当人造卫星未发射前，在地面上时,由、两式可得,因为F引=F心,所以,答：本题正确选项为B、C。,由、两式可得,2凡是人造卫星的问题都可从下列关系去列运动方程，即:重力=万有引力=向心力,式中，r=R0+h，g/是高空h处的重力加速度。,说明：1万有引力定律所导出的公式虽然繁多，但它们都有一个共同的特点：各个力学参量都与卫星运转半径有关，即它们都是半径的函数。因此，不论已知什么或求什么，都把它化成半径r的函数，再通过半径r找联系。,例7:在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星，这两颗星必须各自以一
16、定的速率绕某一中心转动才不至于由于万有引力而吸在一起。已知两恒星的质量分别为M1和M2两恒星距离为L。求：(1)两恒星转动中心的位置；(2)转动的角速度。,分析：如图所示，两颗恒星分别以转动中心O作匀速圆周运动，角速度相同，设M1的转动半径为r1，M2的转动半径为r2=L-r1；它们之间的万有引力是各自的向心力。,解答：（1）对M1，有,对M2，有,故M12r1=M22(L-r1),（2）将r1值代入式,例8：地球 和月球中心的就、距离是3.84108m，月球绕地球一周所用的时间是2.3108s。求：地球的质量。,分析 月球绕地球的运动可以近似地当作匀速圆周运动。设月球的质量为m月，它作圆周运
17、动所需要的向心力就是地球对月球的万有引力,月球绕地球作匀速圆周运动需要的向心力是,解答：地球对月球的万有引力,说明：根据地球卫星绕地球运行的参数（如周期、轨道半径），能推算出地球的质量，但不能推算卫星的质量；根据行星绕太阳运行的参数，能推算太阳的质量，但不能推算行星的质量。,由（1）、（2）式得,【反馈练习】,1做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是 A大小相等，方向相同B大小不等，方向不同C大小相等，方向不同D大小不等，方向相同,答案 A,2加速度不变的运动A一定是直线运动B可能是直线也可能是曲线运动C可能是匀速圆周运动D若初速度为零，一定是直线运动,答案 BD,3.,答案 A,A在A、C两点
18、以相同的速度同时水平向右抛出两小球，两球一定会相遇B在A、C两点以相同的速度同时水平向右抛出两小球，两球不一定相遇C在A点水平向右抛出一小球，同时在B点静止释放一小球，两球一定会相遇D在A、C两点以相同速度同时水平向右抛出两小球，并同时在B点由静止释放一小球，三小球有可能在水平轨道上相遇,答案:ACD,4如图所示，足够长的水平直轨道MN上左端有一点C，过MN的竖直平面上有两点A、B，A点在C点的正上方，B点与A点在一条水平线上，不计轨道和空气阻力，下面的判断正确的是,5.传动,答案:ABC,6火车铁轨转弯处外轨略高于内轨的原因是 A.为了使火车转弯时外轨对轮缘的压力提供圆周运动的向心力B.为了
19、使火车转弯时的向心力由重力和铁轨对车的弹力的合力提供C.以防列车倾倒造成翻车事故D.为了减小火车轮缘与外轨的压力,答案:BCD,7.如图所示，质量为m的小球固定在长为L的细轻杆的一端，绕细杆的另一端O在竖直平面上做圆周运动。球转到最高点A时，线速,答案:B,8可绕固定的竖直轴O转动的水平转台上，有一质量为m的物块A，它与转台表面之间的动摩擦因数为，物块A通过一根线拴在轴O上，开始时，将线拉直，物体A处在图位置，令平台的转动角速度由零起逐渐增大，在连线断裂以前 A连线对物块A的拉力有可能等于零 B平台作用于物块A的摩擦力不可能等于零 C平台作用于物块A的摩擦力有可能沿半径指向外侧,答案:ABD,
20、9可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道 A与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆B与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的,答案:CD,10发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点(如图)则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是 A卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C卫
21、星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度,答案:BD,【课后练习】,1一人骑自行车向东行，当车速为4m/s时，感到风从正南方吹来；当车速为6m/s时，感到风从东南方吹来，求风速,2如图所示，湖中有一小船，岸上人用绳子跨过一高处的滑轮拉船靠岸，当绳子以速度v通过滑轮时，问：(1)船运动的速度比v大还是小？(2)保持绳子速度v不变，船是否作匀速运动？,3.船过河,4.平抛,5雨伞伞面的半径为r，离地面高为h，雨伞柄以角速度旋转，使雨滴自边缘甩出落于地面成一大圆圈，求此圆圈的半径,6如图所示，在光滑的水平面上钉
22、两个钉子A和B，相距20cm，一根1米长的细绳，一端系一质量为0.4kg小球，另一端固定在钉子A上开始时小球与钉子A、B在一直线上，然后使小球以2m/s的速率开始在水平面内作匀速圆周运动，若绳子能承受的最大张力是4N，那么从开始到绳断所经历的时间是多少？,7.行星的平均密度是，靠近行星的表面的卫星运转周期是T，试证明:T2是一个常量，即对任何行星都相同。,8质量为m=2kg的滑块，由水平光滑轨道滑向竖直平面内的半圆形光滑轨道，到达最高点C后水平飞出，落到轨道上B点处，如图所示已知AB=AC=1m，求(1)木块在C点时对轨道的压力多大？(2)木块在点时的速度多大?(g=10m/s2),9如图所示
23、，小球从倾角为37的斜面底端的正上方以15m/s的速度水平抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上，求：(1)小球在空中飞行时间；(2)抛出点距斜面底端的高度,10如图所示，质量为m的木块，用光滑细绳拴着，置于很大的水平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管，与质量也为m的小球相连，木块的最大静摩擦力为其所受重力的倍(=0.2)，当转盘以角速度=4rad/s匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动的轨道半径的范围是多少？,11.,12,13.从地面以初速度v1竖直上抛一物体的同时，从其正上方高H(m)处以初速度v2(v2v1)平抛另一物体，求二物间的最短距离,14两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面高度为R，b卫星离地面高度为3R，如图所示则：(1)a、b两卫星周期之比为多大？(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，a卫星至少经过多少个周期两卫星相距最远？,课后练习答案：,
