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1、模糊数学模型分析,数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。一句话概括的讲，用数学解决实际问题即数学的应用我们把现实生活中或生产实践中所遇到的问题，加以分析，抽化出实质的因素，而后应用数学知识解决,数学建模竞赛，它看重的是三个步骤：1、建立模型：实际问题数学问题；2、数学解答：数学问题数学解；3、模型检验：数学解实际问题的解决。,竞赛中的发散性思维方法,借助于一系列问题来展开思路这个问题与什么问题相似？如果将问题
2、分解成两个或几个部分会怎样？极限情形（或理想状态）如何？综合问题的条件可得到什么结果？要实现问题的目标需要什么条件？借助于下意识的联想（灵感）来展开思路抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想综合所得到的联想和猜想，得到一些结论进一步思考找出新思路和方法,竞赛中的群体思维方法,平等地位、相互尊重、充分交流杜绝武断评价不要回避责任不要对交流失去信心,建模思想,用数学语言刻划各种现象。确定性的数学模型：用确定性的数学语言刻划必然现象。随机性的数学模型：用概率刻划随机现象。模糊性的数学模型：用模糊数学刻划模糊现象。,与模糊数学相关的问题（一）,模糊数学研究和处理模糊性现象的数学（概念与其对立面之间没
3、有一条明确的分界线）与模糊数学相关的问题（一）模糊分类问题已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确模糊相似选择 按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性,与模糊数学相关的问题（二）,模糊聚类分析根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系 模糊层次分析法两两比较指标的确定模糊综合评判综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性
4、，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果,序 言,?,模糊数学是研究什么的？,模糊现象：“亦此亦彼”的不分明现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,什么是模糊数学,秃子悖论:天下所有的人都是秃子！,如果一个有X根头发的人被称为秃子，那么，有X+1根头发的人也是秃子。所以，(X+1)+1根头发的还是秃子。以此类推，无论你有几根头发都是秃子。,伊索寓言的故事,喝干整个大海,模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、远、近、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云。,共同特点：模糊概念的外延不清楚
5、。,术语来源,Fuzzy:毛绒绒的，边界不清楚的,模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰,模糊概念导致模糊现象,模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画（指在一定条件下一定会发生的现象）2.随机现象：如掷硬币，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。,随机性与模糊性之区分随机性事件本身具有明确含意事件是否出现的不确定性0,1上概率分布函数描述模糊性事物的概念本身是模糊的概
6、念的外延的模糊不确定性：模糊性0,1上的隶属函数描述,经典数学和统计数学以经典集合论为理论基础，“非此即彼”,统计数学把必然现象扩大到偶然；模糊数学把清晰现象扩大到模糊。,模糊数学的创立及发展,Zadeh 扎德教授1965年，模糊集合论“隶属函数”“模糊数学”的诞生基本思想用属于程度代替属于或不属于,某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于,秃子的程度为0.3等.,日本与欧美的模糊技术热,1 从八十年代起开展了模糊控制的研究与开发 2 九十年代日本兴起模糊控制技术是高新技术领域的一次革命 3 模糊产品给日本带来巨额利润 4 日本模糊技术21世纪的长远规划（6个重点课题）1）基础研究 2）模糊
7、电脑：实现F信息的电脑处理，电脑的构造、逻辑记忆 3）机器智能：使机器能高速地识别和判断模糊信息 4）人机系统：F数据库、F专家系统和自然语言处理技术 5）人与社会系统：进行复杂的人类行为分析，包括决策支持 系统、医疗诊断系统、行为心理透视系统及社会经济模型 6）自然系统：研究和模拟自然现象，如辨别物理变化和化学 变化、判断大气污染状况，地震预测等,我国的模糊技术研究,1)70年代后期传到我国，起步晚，但发展快，“国际四强”2)理论研究居世界领先地位，但应用与发达国家有差距 3）“模糊技术产业化”3)近几年国内掀起了模糊控制技术的研究与开发热，成绩喜人-企业：大型家电集团已成功开发了国产模糊控
8、制洗衣机 如：“小天鹅”，“海尔”，“小鸭”，“金羚”等名牌智能洗衣机-研究机构，高校：郑州轻工业学院模糊控制中心 清华大学热能工程系 北京师范大学模糊控制中心 西南交通大学智能控制中心,模糊技术的研究热点,模糊控制技术的主要特点：-在设计系统时不需要建立被控对象的数学模型，只要求掌握现 场操作人员或者有关专家的经验知识或者操作数据。-系统的鲁棒性好，尤其适合非线性时变，滞后系统的控制。-从工业过程的定性认识出发，较容易建立语言变量控制规则。-被控过程节能好-规则集易理解修改-具有并行操作特点，开发成本低,模糊神经网络技术-神经网络的优点：并行计算，分布式信息存储，容错能力强，自学习功能。-神
9、经网络的缺点:不适合表达基于if-then规则的知识-模糊逻辑的优点：能处理模糊信息，非线性和其它不适定问题，它比较适合于表达基于规则的知识。-模糊逻辑的缺点：缺乏自学习和自适应能力-模糊神经网络=神经网络+模糊逻辑 模糊神经网络的技术成果很多，如美国半导体公司的NeuFuz,Motorola的新型芯片,我国的模糊神经网络开发系统FNNDS（北航）,模糊神经网络的未来研究方向-研究模糊逻辑与神经网络的对应关系-拓展模糊神经网络的应用范围，寻找一 般模糊集的模糊神经元网络的学习方法-用模糊逻辑加强神经网络的学习速度-对成熟的网络模型和学习算法，研制相应 的神经网络控制芯片-模糊神经网络与新发展技
10、术的结合：如Wavelet，Chaos,GA,RS，DM等。,模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西，而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用精确的数学方法去研究处理模糊现象，是研究和描述模糊性线性的一种数学工具，表达精确（消除模糊）的意思！,模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更大的作用。,模糊数学的广泛应用性,模糊技术是21世纪的核心技术，其应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域：1）软科学方
11、面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等 2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析 3）工业过程控制方面：模糊控制技术是复杂系统控制的有效手段 4）家电行业：模糊家电产品,提高了机器的“IQ”5）航空航天及军事领域：飞行器对接C3I指挥自动化系统，NASA 6）人工智能与计算机高技术领域：模糊推理机、F专家系统、F数据库、F语言识别系统、F机器人等，F-prolog、F-C等 7）其它：核反应控制、医疗诊断等,1.Fuzzy 集合及运算,1.模糊概念,风的强弱,人的胖瘦,年龄大小,个子高低,在普通集合中，论域中的元素（如a）与集合（如A）之间的关系是属于（aA），或者不属于，它所描述的是非此
12、即彼的清晰概念。但在现实生活 中并不是所有的事物都能用清晰的概念来描述，如:,为了对事物进行识别，必须对事物按不同的要求进行分类。许多事物可以依据一定的标准进行分类。用于这种分类的数学工具就是集合论。,集合的概念解决精确性的集合问题可以用经典集合论。世界上大多数事物具有模糊性。为了描述具有模糊性的事物，引入模糊集合的概念。,经典集合：具有某种特性的所有元素的总和。模糊集合：在不同程度上具有某种特性的所有元素的总和。,集合是数学中最基本的概念之一。讨论某一概念的外延时总离不开一定的范围。这个讨论的范围，称为“论域”，论域中的每个对象称为“元素”。一般记论域为U，表达了问题的总范围。,所谓集合，是
13、指具有某种特定属性的对象的全体。定义：给定论域U（U、V、X、Y），U中具有某种特定属性的元素（u、v、x、y）的全体，称为U上的一个集合(A、B、C、)。,表示集合的几种方法（1）列举法：列写出集合中的全体元素。适用于元素有限的集合。（2）定义法：以集合中元素的共性来描述集合的一种方法。适用于有许多元素而不能一一列举的集合。,2、模糊集合常用术语及其表述,精确集合（非此即彼）：A=X|X6精确集合的隶属函数（特征函数）：,模糊集合：如果X是对象x的集合，则X的模糊集合 A：,称为模糊集A的隶属函数。,定义 设A是论域U到0，1的一个映射，即,A：U0，1,称A是U上的模糊集，而函数A（）称为
14、模糊集A的隶属函数，A（x)称为x对模糊集A的隶属度。,在模糊数学中，我们称没有明确边界（没有清晰外延）的集合为模糊集合。常用大写字母下加波浪线的形式来表示，如、等。,元素属于模糊集合的程度用隶属度或模糊度来表示。用于计算隶属度的函数称为隶属函数，即模糊集的特征函数。,隶属度即论域元素属于模糊集合的程度。用 来表示。隶属度的值为0，1闭区间上的一个数，其值越大，表示该元素属于模糊集合的程度越高，反之则越低。计算隶属度的函数称为隶属函数。用 表示。,隶属度和隶属函数的表示形式看起来很相似，但是它们的意义是完全不一样的。指论域中特定元素xi属于A的隶属度，而 中的x是一个变量，可表示论域中的任一元
15、素。,隶属函数的性质：a)定义为有序对；b)隶属函数在0和1之间；c)其值的确定具有主观性和个人的偏好。,X称为论域或域。,构造模糊集就是要：确定合适的论域和指定适当的隶属函数。,1,13,精确集合,模糊集合,1,13,6,(1)向量表示法,(2)扎德表示法,当论域U由有限多个元素组成时，模糊集合可用向量表示法或扎德表示法表示。设,3 模糊集合的表示,例：设论域U=钢笔，衣服，台灯，纸，他们属于学习用品的隶属度分别为:1，0，0.6，0.8，则模糊集合学习用品可分别用向量表示法和扎德表示法表示如下：,“20岁左右”,原集合（年龄）.,17,18,19,20,21,22,23,.“20岁左右”这
16、个模糊集可以表示为：0.8/18+0.9/19+1/20+0.9/21+0.8/120.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23.,隶属度0,1,集合元素,（3）序偶表示法：举例：X=上海 北京 天津 西安为城市的集合。模糊集合 C=“对城市的爱好”可以表示为：C=(上海,0.8),(北京,0.9),(天津,0.7),(西安,0.6),再如，B=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,B（u）,隶属函数的确定,1.模糊统计方法,与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻
17、为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.,2.指派方法,一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。,3.借用已有的“客观”尺度,对论域U上一个确定元素u0是否属于论域上的一个边界可变的普通集合A*的问题，针对不同的对象进行调查统计，再根据模糊统计规律计算出u0的隶属度。,用模糊统计法确定隶属度的基本思想,模糊统计法举例,例：用模糊统计法确定27岁的人属于“青年人”模糊集合的 隶属度。,武汉工业大学张南伦教授调查统计结果如下：,表1 关于“青年人”年龄的调查,由张教授调查统计结果可知，共调查统计129次，其中27岁的人属于“青年人”这个边界可变
18、的普通集合的次数为101次。根据模糊统计规律计算隶属度为：,求取论域中足够多元素的隶属度，根据这些隶属度求出隶属函数。具体步骤为：,求取论域中足够多元素的隶属度；,求隶属函数曲线。以论域元素为横坐标，隶属度为纵坐标，画出足够多元素的隶属度（点），将这些点连起来，得到所求模糊结合的隶属函数曲线；,求隶属函数。将求得的隶属函数曲线与常用隶属函数曲线相比较，取形状相似的隶属函数曲线所对应的函数，修改其参数，使修改参数后的隶属函数的曲线与所求隶属函数曲线一致或非常接近。此时，修改参数后的函数即为所求模糊结合的隶属函数。,隶属函数的确定,表2 1535岁的人属于青年人的隶属度,由表1可分别计算出1535
19、岁的人属于模糊集合“青年人”的隶属度，计算结果如下表：,例：根据张南伦教授的统计结果，求 青年人模糊集合的隶属函数。,根据表2的计算结果，以年龄为横坐标，隶属度为纵坐标，绘出隶属函数曲线如下图所示。,年龄（岁）,15,20,25,30,35,隶属度,1,0,47,所求隶属函数曲线与降半哥西型函数曲线较相似，降半哥西型隶属函数为：,修改降半哥西型隶属函数参数，使其函数曲线与所求隶属函数曲线非常接近。此时取=1/25，a=24.5，=2。参数修改后的降半哥西型函数即为模糊集合“青年人”的隶属函数。即：,隶属函数参数化,1.三角形隶属函数,参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。,参数a,b
20、,c,d确定了梯形四个角的x坐标。当b=c时，梯形就退化为三角形。,2.梯形隶属函数,3.高斯形隶属函数,高斯MF完全由c和决定，c代表MF的中心；决定了MF的宽度。,4.一般钟形隶属函数,参数完全由b通常为正；如果b0,钟形将倒置。钟形MF实际上是概率中柯西分布的推广，因此又称为柯西MF。,trig(x;20,60,80),trap(x;10,20,60,90),g(x;50,20),bell(x:20,4,50),隶属函数的参数化举例：,以钟形函数为例，,a,b,c,的几何意义如图所示。,改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。,5)模糊隶属函数的修正（Hedges),4 模糊集合的运算,
21、包含或子集：,并（析取）(两两取大),交（合取）(两两取小),补（负）(取反),“又矮又瘦”,U=甲,乙,丙,丁A=“矮子”隶属函数(0.9,1,0.6,0)B=“瘦子”隶属函数(0.8,0.2,0.9,1)找出 C=“又矮又瘦”C=AB=(0.90.8,10.2,0.60.9,01)=(0.8,0.2,0.6,0)甲和丙比较符合条件,模糊集的并、交、余运算性质,幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：
22、AU=U，AU=A；A=A，A=；还原律：(Ac)c=A；,排中律A A=,例 设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设,A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).,则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.,Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).,可见Ac B,Bc A.,又 AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).,评价“自然语言”,一组学生共10人，
23、考试成绩为：72 68 71 70 8669 70 82 72 75如何评价上述数据？,这些学生平均分73.5分,这次考试成绩大多数在分左右，个别在分以上,精确，但是不直观,对分数问题的分析,7对于“大多数”的隶属度是0.8A(“大多数”)=0.880分以上有2人，2对于“个别”的隶属度为1A(“个别”)=1,72 68 71 70 8669 70 82 72 75,模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,
24、0.8,0.9,0.95，则,A0.9(90分以上者)=u5,u6,A0.6(60分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.,关系是指对两个普通集合的直积施加某种条件限制后得到的序偶集合。常用R表示。,例：A=（1，3，5），B=（2，4，6）则直积集合为：AB=(1，2)(1，4)(1，6)(3，2)(3，4)(3，6)(5，2)(5，4)(5，6),一.关系与模糊关系,Rab=A,1 0 0 0,3 1 0 0,5 1 1 0,2 4 6,B,关系R可以用矩阵形式来表示。一般形式为：,则对上例有：,2、模糊关系，是普遍关系的推广，普通关系只能描述元素间关系的有无，而模糊关系则描述元素之间关
25、系的多少。例 在医学上常用公式：体重B（公斤）=身高A（厘米）100来表示标准体重，这就给出了身高（A）与体重（B）的普通关系。若A=140，150，160，170，180 B=40，50，60，70，80 身高与体重的普通关系如表3所示：,表3 身高与体重的普通关系,但人的胖瘦不同，对于非标准的情况，身高与体重的关系应该以接近标准的程度来描述，这就导致产生如上表所示的模糊关系。它能更深刻、更完整地给出身高与体重的对应关系。,表4 身高与体重的模糊关系,表5 掌握外语的程度,例 设有一组同学（徐X，张X，王X），他们选修英，日，俄，法四种外语中的任几门，他们选修和结业成绩如下：徐X 英语 85
26、 徐X 日语 70 徐X 俄语 75 张X 英语 90 王X 英语 70 王X 法语 80,二、模糊矩阵 1、矩阵 矩阵可以用来表现关系，如果集合A有m个元素，集合B有n个元素、我们可以用矩阵R来表示由集合A到集合B的关系,其中rij=0或1，1im，1jn。,2.模糊矩阵,对上例有：,对于有限论域 X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，则X 到Y 模糊关系 可用mn 阶模糊矩阵表示，即=(rij)mn，其中rij=(xi,yj)0,1表示(xi,yj)关于模糊关系 的相关程度.又若 为布尔矩阵时,则关系 为普通关系,即xi 与 yj 之间要么有关系(rij=1),要么没有关系(rij=
27、0).,三、模糊关系的运算,精确关系,模糊关系,同一空间,表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否存在。,表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否存在或不存在的程度。,举例,模糊矩阵的运算,(1)并、交、补运算,并运算：,交运算：,补运算：,(2)相等与包含,例如：,(4)合成运算,回忆普通矩阵的乘法运算,模糊关系矩阵的合成与普通矩阵的乘法运算过程一样，运算符号不同。,四.模糊矩阵的-截矩阵,定义 设A=(aij)mn,对任意的0,1，称A=(aij()mn,为模糊矩阵A的-截矩阵,其中 当aij 时，aij()=1；当aij 时，aij()=0.显然，A的-截矩阵为布尔矩
28、阵.,五.模糊等价关系,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)传递性：R2R,则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,当论域X=x1,x2,xn为有限时,X 上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵,即R满足：,R2R(rikrkj)|1kn rij).,模糊相似关系,若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系.当论域X=x1,x2,xn为有限时，X 上的一个模糊相似关系
29、R 就是模糊相似矩阵，即R满足：(1)自反性：I R(rii=1)；(2)对称性：RT=R(rij=rji).,3 模糊模型识别,模型识别,已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别.,模型识别在实际问题中是普遍存在的.例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.,模糊模型识别,所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是模糊的.,模型识别的原理,为了能识别待判断的对象x=(x1,x2,xn)T是属于已知类A1,A2,A
30、m中的哪一类？事先必须要有一个一般规则,一旦知道了x的值,便能根据这个规则立即作出判断,称这样的一个规则为判别规则.判别规则往往通过的某个函数来表达,我们把它称为判别函数,记作W(i;x).一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否正确.,最大隶属原则,最大隶属原则 设论域X=x1,x2,xn 上有m个模糊子集A1,A2,Am(即m个模型),构成了一个标准模型库,若对任一x0X,有k1,2,m,使得u Ak(x0)=u A1(x0),u A2(x0),u Am(x0)，则认为x0相对隶属于Ak.最大隶属原则 设论域
31、X上有一个标准模型,待识别的对象有n个：x1,x2,xnX,如果有某个xk满足u(xk)=u(x1),u(x2),u(xn),则应优先录取xk,xk最属于.,例1 在论域X=0,100分数上建立三个表示学习成绩的模糊集A=“优”,B=“良”,C=“差”.当一位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类？,A(88)=0.8,B(88)=0.7,A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.,根据最大隶属原则,88分这个成绩应隶属于A,即为“优”.,例2 论域 X=x1(71),x2(74),x3(78)表示三个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,
32、C(78)=0.2,根据最大隶属原则，x1(71)最差.,例3 细胞染色体形状的模糊识别,细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即X=(A,B,C)|A+B+C=180,ABC 标准模型库=E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形).,某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为88,70,22,即待识别对象为x0=(88,70,22).问x0应隶属于哪一种三角形？,“等腰”？“等边”？“直角”？,I:等腰E:等边R:直角T:普通U=(A,B,C)|A=B=C=0,
33、A,B,C,等腰三角形,需求当A=B或B=C时，函数值为1当两个角越接近，函数值越大当A=120,B=60,C=0时，函数值为0确定隶属度函数I(A,B,C)=1 min(A-B,B-C)/60,等边三角形,需求当A=B=C时，函数值为1当三个角越接近时，函数值越大当A=180,B=C=0时，函数值为0确定隶属度函数E(A,B,C)=1(A-C)/180,直角三角形,需求A=90时，函数值为1A越接近90，函数值越大确定隶属度函数R(A,B,C)=1|A-90|/90,普通三角形,普通三角形就是非I,E,R的情况T=(IER)=IER确定隶属函数T=(1 R)(1 E)(1 I),（88，70
34、，22）,计算结果I=0.7E=0.63R=0.98T=0.02结论大致属于直角三角形R,练习：(94,50,36)？（80,70,30）？（120,50,10）？,例4,设在论域X=x1,x2,xn上有m个模糊子集A1,A2,Am(即m个模型),构成了一个标准模型库.被识别的对象B也是X上一个模糊集,它与标准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类模糊识别问题.,择近原则（多指标）,内积与外积的性质,(1)(A B)c=AcBc;(2)(AB)c=Ac Bc;(3)A Ac 1/2;(4)AAc 1/2.,证明(1)(A B)c=1-A(x)B(x)|xX,=1-A(x)1-B(x)|xX=Ac
35、(x)Bc(x)|xX=AcBc.,证明(3)A Ac=A(x)1-A(x)|xX,1/2|xX 1/2.,例4,中医诊断中模糊数学择近原则的应用,中医诊治是以望、闻、问、切四诊方法获取病人的症状与体征的。显然，这些症状与体征来自两个方面：一是病人的自我感觉(问诊获取)，二是医生的感知(望、问、切获取)。然后，分析病因、病机、病位、属性，进行辨证论治。同时，任一疾病的全过程，病人的体征有所差异，还将要求医生对疾病的不同阶段给予辨证论治。我们观察医生诊治的全过程，发现首先是在病人症状与体征的获取中或多或少带有病人和医生的主观因素以及获取的某些症状程度上无法精确量化而具有模糊性。,由临床实践表明:
36、在诊断为某一疾病时，不少的症状既可出现在A病也可现出在B病；或某一疾病的典型症状，有的出现，有的可能不出现；即使已确认为某一疾病，但在辨证分型的过程中，各医生依据其临床经验可将该疾病辨证分为m个型或n个型等；在处方的选药与药量上也存在很大的差异。,设U为某病的一组典型症候群论域。U=a,b,c,d,ea,b,c,d,e为U论域中的元素，表示该疾病的一组典型症候。它可通过大量病例资料筛选而定。,、为U论域上的三个模糊子集，对应为该疾病的三个型。现对模糊子集中的每一个元素给定一个隶属度：a0.8，b0.2，c0.1，d0.5，e0.3 上述隶属度的确定，通常可采取多位中医专家根据该症候在诊断中的重
37、要程度打分，然后取其平均值，或依据大量病历统计后给定。,这样就确定了一个模糊子集。=(0.8，0.2，0.1，0.5，0.3)同理解定义模糊子集、。=(0.6，0.5，0.8，0.4，0)=(0，1，0.5，0.3，0.8),又设：A为某病人症候群的模糊子集。A=(0.5，0.3，0.6，0.8，0)A集中各元素的隶属度反映相应症候的轻重程度，若该症状不出现，则取零。,现分别计算贴近度N(A,),N(A，)，N(A，)。,模糊子集A与的贴近度N(A，)计算如下：,(A，)=0.5(AO)+(1-A)=0.50.5+(1-0.3)=0.5同理可得：(A，)=0.6(A，)=0.5,按“择近原则”
38、判别，A归类为。上述按模糊数学方法进行辨证分型，反映了多位中医专家的辨证水平。显然在诊断上避免了单一医生的主观因素而更趋客观。,医疗纠纷的评价与估计,例5,以前对医疗纠纷的评价与估计，一般采用定性方法，但易有主观片面性。为了从医疗纠纷中预测医疗事故，寻找医疗事故可能发生的原因，判定医务人员应负的责任，我们首先采用模糊数学择近原则法评估医疗纠纷。,把医疗纠纷定为五个模型，即事故（E）、严重差错（D）、一般差错（C）、缺点（B）、无医疗缺陷（A）。,案例（1）：患者魏，编号126，男性，年龄55岁，入院诊断：腹部外伤，留院观察。出院诊断：外伤性胃破裂致弥漫性腹膜炎，中毒性休克，循环衰竭。病人现状：
39、死亡。死亡原因：循环衰竭。纠纷中患方异议：对病人入院后突然死亡不能接受，病人留在急诊室却观而不察，到底诊断为什么病等。院方核实情况：（1）对病人留观后十几个小时未作一次检查；（2）诊断不准确，盲目输液，增加病人心脏负担；（3）麻醉方式选择不当，结论是该患者死亡，主要是由于延误诊断，造成病人严重脱水后出现不可逆的中毒性休克，最后死亡。,用模糊数学择近原则法评估此案例：首先确定待识别模型。第一方面判定为C级，得分0.21；第二方面判定为D级，得分0.30；第三方面判定为E级，得分0.25；第四方面判定为D级，得分0.33；第五方面判定为E级，得分0.43；第六方面判定为零，得分0；第七方面判定为E
40、级，得分0.08；（0.21，0.30，0.25，0.33，0.43，0，0.08）,计算（,E）0.43（D）0.33；（C）0.21；（B）0.20；（A）.020；,根据择近原则法，为E型，即本例评为事故。,案例（2）：患者夏玉书之女，编号0.68，女性，出生后3天。入院诊断：新生儿双足跟发红发紫。出院诊断：左足跟部烫伤。病人现状；恶化。纠纷中患方异议，对病儿足部烫伤，父母精神上承受一定的压力，不能接受额外的痛苦。院方核实情况：（1）由于护士李经验不足，将热水袋直接放于婴儿足部而造成烫伤；（2）外科会诊，患儿当时周身循环差，末梢循环差，神经营养不良，易烫伤坏死。结论是患儿足跟烫伤的直接原
41、因是医务人员工作不谨慎，决定待患儿两岁后作植皮术。用模糊数学择近原则法评估此案例：第一方面判定为零，得分0；第二方面判定为D、C中级，经加减得分为0.20；第三方面判定为C级，得分0.20；第四方面判定为D、C中级，经加减得分为0.30；第五方面判定为D级，得分为0.22；第六方面判定为零，得分为0；第七方面判定为D级，得分为0.10；（0，0.20，0.20，0.30，0.22，0，0.10）,根据择近原则法，A为D型，即本例评为严重差错。,例6,多个特性的择近原则,设在论域X=x1,x2,xn上有n个模糊子集A1,A2,An构成了一个标准模型库,每个模型又由个特性来刻划：Ai=(Ai1,A
42、i2,Aim),i=1,2,n,待识别的模型B=(B1,B2,Bm).先求两个模糊向量集合族的贴近度：si=(Aij,Bj)|1jm,i=1,2,n,若有k1,2,n,使得(Ak,B)=si|1in,则称B与Ak最贴近,或者说把B归于Ak类.这就是多个特性的择近原则.,例7蠓的分类,左图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼长数据,其中“”表示Apf,“”表示Af.根据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是重要的.,给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分它属于哪一族？将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三个标本.,
43、Af的触角长和翼长的隶属函数分别为,Apf的触角长和翼长的隶属函数分别为,先求两个模糊向量集合族的贴近度：s1=min(X11,A1),(X12,W1)=min0.524,0.999=0.524,s2=min(X11,A2),(X12,W2)=min0.562,0.979=0.562,由多个特性的择近原则得X1=(1.24,1.80)应归入Apf类.,同理，X2=（1.28，1.84）应归入Apf类，X3=(1.40,2.04)应归入Af类.,一、模糊变换 1、模糊向量 对于一个有限模糊集合X可以表为：=x1，x2，x3，xn xi是各元素相应的隶属度(xi)，其中0 xi1（i=1，2，n）
44、对于只有一行的模糊矩阵也可以看成模糊向量，如：=x1，x2，x3，.，xn是一个模糊向量,4 模糊综合评判方法,2、模糊变换 现有一个模糊矩阵：=rij，其中0rij1,=Y称为模糊变换。,模糊变换的结果为：,式中的各分量：,模糊变换：,Yi=(xkrkj)(k=1,2,m),=y1，y2，ym,例 给出=（0.2，0.5，0.3），,Y1=(0.20.2)(0.50)(0.30.2)=0.200.2=0.2y2=(0.20.7)(0.50.4)(0.30.3)=0.20.40.3=0.4y3=(0.20.1)(0.50.5)(0.30.4)=0.10.50.3=0.5y4=(0.20)(0.
45、50.1)(0.30.1)=00.10.1=0.1,式中 各分量的计算如下：,经归一化后的模糊变换结果为：,Yi=0.2/1.2=0.167Yi=0.4/1.2=0.333Yi=0.5/1.2=0.417Yi=0.1/1.2=0.083,三、模糊综合评判应用实例 例 1（网络课程评价）我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：U=硬件建设（u1），软件建设（u2），人员培训（u3）而评语论域V表示为：V=很好（v1），较好（v2），可以（v3），不好（v4）亦即分为四个等级，并用百分比或小数表示。现邀请一些专门人员进行评价，若
46、用人数的百分比来表示评价结果如表6所示；,表 6评价结果,例2 电脑评判 某同学想购买一台电脑，他关心电脑的以下几个指标：“运算功能（数值、图形等）”；“存储容量（内、外存）”；“运行速度（CPU、主板等）”；“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”；价格”。于是请同宿舍同学一起去买电脑。为了数学处理简单，先令,=“运算功能（数值、图形等）”；,=“存储容量（内、外存）”；,=“运行速度（CPU、主板等）”；,=“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”；,=“价格”。,称,因素集。,评语集,其中,=“很受欢迎”；,=“较受欢迎”；,=“不太受欢迎”；,=“不受欢迎”；,任选几台电脑
47、，请同学和购买者对各因素进行评价。,若对于运算功能 有20%的人认为是“很受欢迎”，50%的人认为“较受欢迎”，30%的人认为“不太受欢迎”，没有人认为“不受欢迎”，则 的单因素评价向量为,同理，对存储容量，运行速度，外设配置 和价格,分别作出单因素评价，得,组合成评判矩阵,据调查，近来用户对微机的要求是：工作速度快，外设配置较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要求不高。于是得各因素的权重分配向量：,作模糊变换：,存储容量,运行速度,外设配置,价格,运算功能,若进一步将结果归一化得：,结果表明，用户对这种微机表现为“最受欢迎”的程度为0.32，“较受欢迎”和“不太受欢迎”的程度为0.27，“不
48、受欢迎”的程度为0.14。按最大隶属原则，结论是：“很受欢迎”。,5 模糊聚类分析,模糊相似矩阵建立方法,相似系数法-夹角余弦法,相似系数法-相关系数法,其中,距离法,绝对海明距离,相对海明距离,欧氏距离,一个实例=-上海4月平均气温;-北京3月雨量-5月地磁指数;-5月500毫巴W型环流型日数 予报对象:华北五站(北京、天津、营口、太原、石家庄)7-8月降水量,仅用61-67年 7年的资料(略)第一步:计算相似系数 经过标准化计算相似系数矩阵R,第二步:建立模糊矩阵 将相似系数压缩到0,1之间 得 第三步:建立模糊等价矩阵 按上式计算:例如,得到,发现,当 取0.92时:将,当 取0.65时
49、有:,又将 合并成一类,当 取0.64时,有 此时将1,3,再与4,6并为一类,可分成三类 再 取=0.63时 这次再将,只有二类:,聚类图:,说明:(1)当=0.65时,共分成四类:(2)当=0.64时,共分成三类:(3)当=0.63时,共分成二类:这是以按年份为基本类的分类图,0.64,0.65,0.92,0.99,0.63,谢 谢！,同一空间模糊关系复合运算：,或,举例,非同一空间模糊关系复合运算：,精确关系,模糊关系,不同乘积空间，但有一个公共集合的二个关系复合定义为：,不同乘积空间，但有一个公共集合的二个模糊关系P(U,V)和S(V,Z)定义为：,当U,V,W是离散论域时，Sup(取
50、上界)变成取极大运算,非同一空间模糊关系复合运算举例与图示：,举例,1,2,3,a,b,0.4,0.2,0.8,0.9,0.9,0.2,0.5,0.7,X中元素2和Z中元素a通过二二连接建立的路径，选择连接强度最大者，其强度由子路径强度乘积或取极小计算而得。,图示：,Y,模糊关系隶属函数的计算,或,五、模糊关系合成图解法图解法计算模糊关系的合成的步骤：1、画出关系合成图 2、在图中找出xi到zj的各种可能途径；3、在同一路径中相比较取隶属度最小者作为该路径的隶属度；4、把路径所取得隶属度中最大者作为qij的元素值；5、画出模糊关系合成矩阵。,DNA序列分类与模糊识别,2000网易杯全国大学生数
