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1、一、模糊集及模糊关系,1、模糊问题的提出,在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。,根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催
2、生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L.A.Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。,2、模糊集的概念,对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么xA，要么xA，二者必居其一。这一特征可用一个函数表示为：A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为0,1区间。,简单地可表达为：设U是论域，称映射 A(x)：U0,1确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称
3、为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,例：设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,上式表示一个有n个元素的模糊子集。“+”叫做查德记号，不是求和。,模糊集的运算,也可以表示为：,相等：A=B A(x)=B(x)；包含：AB A(x)B(x)；并：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交：AB的隶
4、属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).,模糊集的并、交、余运算性质,幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：AU=U，AU=A；A=A，A=；还原律：(Ac)c=A；,对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；,对偶律的证明：对于任意的 xU(论域)，(AB)c(x)=1-(AB)(x)=1-(A(x)B(x)=(1-A(x)(1-B(x)=A
5、c(x)Bc(x)=AcBc(x),模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即AAc U，AAc.模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.,例：设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设,A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).,则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.,Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).,可见Ac B,Bc A.,又 AAc=(0.8,0.55,1,
6、0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).,3、截集,定义2 若A为X上的任一模糊集，对任意0 1，记A=xxX,A(x),称A为A的截集。(A)=A=x|A(x)A是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的,如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平(0 1)来确定其隶属关系。截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集A 是一个具有游移边界的集合，它随值的变小而增大，即当1 2时，有A1A2。,模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,
7、95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则,A0.9(90分以上者)=u5,u6,A0.6(60分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.,定理：设A,B(U)(A,B是论域U 的两个模糊子集)，,0,1，于是有-截集的性质：,(1)AB AB；(2)A A；(3)(AB)=AB，(AB)=AB.,4、隶属函数的确定,1.模糊统计方法,与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.,2.指派方法,一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。,3.借用已有的
8、“客观”尺度,5、模糊关系与模糊矩阵,1）模糊关系的定义定义3.5 设X、Y是两个非空集合，则直积 XY=(x,y)|x X，y Y为论域中的一个模糊子集R,称为从集合X到Y的一个模糊关系，也称二元模糊关系。R由其隶属函数 R：X Y 0,1刻画。R(x,y)表明(x,y)具有关系R的程度。当 X=Y时，称R为X上的模糊集合;当论域为n个集合的直积X1 X2 Xn 时,则称R为n元模糊关系。,2）模糊关系的合成定义：设U、V、W是论域，Q是U到V的一个模糊关系，R是V到W的一个模糊关系，则Q对R的合成Q R指的是U到W的一个模糊关系，它具有隶属函数,3）模糊关系的运算模糊关系是一类特殊的模糊集
9、，同模糊集合一样有交、并、补、包含、相等等运算。法则相似。,4）模糊关系的性质设R,R1,R2F(UV),且t T，Rt F(UV),则,5）模糊矩阵的定义定义：设A=u1,u2,un,B=v1,v2,vm及R F(AB),将序偶(ui,vj)的隶属度R(ui,vj)0,1记作rij，称矩阵R=(rij)nm 为模糊矩阵。,6）模糊矩阵的运算设R和S均为nm阶模糊矩阵，则其并运算为对应元素求大；交运算为对应元素求小；补运算为1减每个元素。,7）模糊矩阵的截矩阵R=(rij)mn，对任意0,1,记R=(rij)mn，其中,则称R为R的截矩阵。,8）模糊矩阵的合成定义：设Q=(qij)nm,R=(
10、rjk)ml 为模糊矩阵,合成矩阵S=(sik)nl,S=QR:,9）模糊矩阵的性质,恒等律,交换律,分配律,结合律,吸收律,复原律,对偶律,同一律和模糊集合的性质一样。另外有,对模糊矩阵，互补律不成立。,例1：模糊矩阵的合成,10）模糊关系和模糊矩阵的合成例子,例2：某家中，子女与父母的长像相似关系R是模糊关系。,可看作A=子，女、B=父，母,模糊关系可表示为：,模糊矩阵R=,该家中父母与祖父母（C=祖父，祖母）的相似关系也是模糊关系：,模糊矩阵S=,孙子、孙女与祖父母的相似程度？,RS=,=,=,此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、0.2;孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5
11、、0.6。,二、模糊聚类分析方法,模糊聚类分析方法,分类伴随着模糊性，将模糊数学中的有关概念与方法引进聚类分析，通过建立模糊相似关系，进而对客观事物进行分类。（1）原始数据标准化方法要构造模糊关系矩阵，必须对样本数据进行预处理，使样本数据压缩到0，1闭区间内。,这样就可以将原始数据标准化值为,例如，可以先求出n个样本的第j个指标的平均值和标准差。,2）标定各分类对象之间相似性统计量rij的计算，可以采用夹角余弦法和相似系数法。如：,这里rij表示两个样本之间相似程度的变量，当rij接近于1，表明这两个样本越接近。,下面是相关系数法确定的rij：,（3）聚类通过上述标定，得到模糊相似矩阵，反映了
12、样本间的相似关系，但它只具有自反性和对称性，不具有传递性，此时，可以通过平方法得到的传递闭包，也就是论域上的一个模糊等价矩阵，选择不同的值，得到不同的水平截集，得到动态聚类结果，生成动态聚类树。,因此，为了聚类，我们必须采用,这样下去，就必然会存在一个自然数K，使得：,示例,显然，对于上述所描述的九个农业区域，用夹角余弦公式计算所得的相似系数矩阵,就是这九个农业区域所构成的分类对象集合上的一个模糊相似关系，经过自乘计算后可以验证：R=R4R4=R4,这样就可以在不同的截集水平下进行聚类了,(1)取=1，得：,各自成为一类。,(2)取=0.99，得：,G6，G7归并为一类，而G1，G2，G3，G
13、4，G8，G9各自成为一类。,行与第3行和其它各行均不相同，故G2与G8聚为一类，G4与G9聚为一类，G5、G6、G7聚为一类，而G1和G3各自成为一类。,(3)取=0.95，得：,和其它各行均不相同，故G2、G4、G8、G9聚为一类，G5、G6、G7聚为一类，G1和G3各自聚为一类。,(4)取=0.94，得：,其它各行均不相同，故G1、G2、G4、G8、G9聚为一类，G5、G6、G7聚为一类，G3各自成为一类。,(5)取=0.93，得：,G4、G8、G9聚为一类，G3、G5、G6、G7聚为一类。,(6)取=0.80，得：,(7)取=0.67，得：,G9均聚为一类。,三、模糊综合评判方法,模糊
14、综合评判方法,模糊综合评判方法，是一种运用模糊数学原理分析和评价具有“模糊性”的事物的系统分析方法。它是一种以模糊推理为主的定性与定量相结合、精确与非精确相统一的分析评价方法。由于这种方法在处理各种难以用精确数学方法描述的复杂系统问题方面所表现出的独特的优越性，近年来已在许多学科领域中得到了十分广泛的应用。,单层次模糊评判,1、确定评判系统指标集和指标权重集,单层次模糊评判,2、确定评判指标评价等级（备择集）,单层次模糊评判,3、确定单因素评判矩阵,rij表示第i个指标对第j个备择类的隶属度大小。,单层次模糊评判,单层次模糊评判,单层次模糊评判,4、评判,5、评价结果处理maxdi对应为评判等
15、级 计算得分f=90d1+80d2+703+60d4,多层次模糊评判,在复杂大系统中，需要考虑的因素往往是很多的，而且因素之间还存在着不同的层次。这时，应用单层次模糊综合评判模型就很难得出正确的评判结果。所以，在这种情况下，就需要将评判因素集合按照某种属性分成几类，先对每一类进行综合评判，然后再对各类评判结果进行类之间的高层次综合评判。这样，就产生了多层次模糊综合评判问题。,多层次模糊评判,1、确定评判系统指标集和指标权重集,指标类：,各类指标：,指标类权重：,子指标权重：,多层次模糊评判,2、确定类指标和子指标评价等级（备择集）,多层次模糊评判,3、确定各类因素评判矩阵R1，R2，Rn,多层
16、次模糊评判,4、各类评价,多层次模糊评判,5、形成按类评价矩阵R,多层次模糊评判,6、总评价,7、评价结果处理maxdi对应为评判等级 计算得分f=90d1+80d2+703+60d4,例1：,农业生态经济系统，是一类多要素的复杂系统，其内部诸要素之间的相互作用关系及各要素对系统功能的影响程度在量上是难以精确衡量的，即系统具有“模糊性”特征；其次，农业生态经济系统也还是一个包含着若干不同生产层次(或若干子系统)的复合系统，其系统功能从整体上来说是一种综合功能，具有“多属性”特点。因此，农业生态经济系统功能评价是一种多属性或多准则评价问题。这就要求评价者必须根据评价问题的性质、目标、要求等选择适
17、宜的评价模型和方法。在这方面，模糊综合评判模型为我们提供了一种有效的方法。,农业生态经济系统功能，是一种综合性功能，它主要由经济效益、生态效益和社会效益三个方面来反映。所以，对农业生态经济系统功能的考察及评价，必须立足于这三个基本方面。而这三个方面的效益又是由不同的要素来体现的，每一种要素都有表征其属性特征的指标。这些要素指标的组合就构成了农业生态经济系统功能综合评价的指标体系,评价要素集合为：U=u1，u2，u3其中，各单要素子集ui=(i=1，2，3)分别为：U1=u11，u12，u13，u14，u15U2=u21，u22，u23，u24，u25U3=u31，u32，u33，u34，u35
18、,评语集合的确定根据评价决策的实际需要，将评判等级标准划分为“好”、“较好”、“一般”、“较差”和“差”五个等级。即评语集合为：V=v1，v2，v3，v4，v5=好，较好，一般，较差，差,各子集权重(一级权重)为：A=a1，a2，a3各子集Ui(i=1，2，3)中诸要素的权重(二级权重)分别为,所谓评判的实施，就是根据评判对象农业生态经济系统的各种实际调查访问材料、各种试验与研究数据，采用模糊数学和精确数学方法对各个评价指标进行定量估算，然后由评判专家小组的每一个成员根据已确定的评价等级标准依次对各个指标进行评价。假定评判专家小组有20名成员，其中有7名对系统生态效益功能的评价指标之一“水土流失状况(u22)”同意“较好(v2)”的评价等级，即持同意意见的专家占专家小组总人数的7/20，因此该指标的评价值就是0.35。依次类推，可分别得出各子集ui(i=1，2，3)中单要素的评价决策矩阵Ri(i=1，2，3)为：,在AHP中得到：,采用普通矩阵乘法，经过合成运算，得各子集Ui(i=1，2，3)的综合评判结果分别为：,因此，U中各子集的综合评价决策矩阵为：,所以，该农业生态经济系统功能模糊综合评价结果为：,将其归一化得：,评价结果表明，该农业生态经济系统功能还是较好的。,例2,模糊综合评判在教学管理中的应用,
