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1、3.3 聚类分析概要,聚类分析是研究多要素的客观分类方法，即运用数学方法对不同的样品进行数字分类，定量地确定样品之间的亲疏关系，并按照它们之间的相似程度，归组并类，以便客观分类的一种统计分析方法。它同判别分析同属分类问题，但前提不相同，所给的样本类型和类型数都是未知的。气象学中存在许多分类问题，如气候分类区划、天气过程分类、环流分类、预报因子的合并归类、相似年的确定等。,一、相似性指标统计量 1样品与分类指标 对与研究对象有关的m个变量作n次观测，得样本矩阵，称每行为一个分类指标，每一列为一个样品，对样品进行分类；每个样品包含m个指标，即样品的特征用m个指标来描写，可以是一个测站的m个指标的时
2、间分布，也可以是同一指标的m个测站的时空分布。,2距离和相似系数 进行分类，要将特征相似的样品聚为同一类，首先要定义样品之间亲疏程度的数量指标。A、距离 样品看作m维空间的点，以某种形式定义点与点之间差异大小（不完全是地理或几何距离），数学上的距离可以有不同定义，但要满足4个条件 1）dij=0时，样品i和j 恒等（dii=0）唯一性和单一性 2）dij0，非负性 3）dij=dji 对称性 4）dijdik+dkj 三角不等式,常用距离Minkowski距离:,绝对距离,Euclid距离,2.Mahalanobis距离,马氏距离考虑了类型总体的内部结构，更加合理，但计算繁琐。,在距离指标中，
3、当样品指标不是同一变量时，各变量对距离的影响与它们的量纲有关，如气温为101，气压为103量级，气压变化对距离的影响远大于气温。克服这一缺点的方法是对各指标标准化,B 相似系数 1）,将样品i、j看作m维空间的向量，常用于要素场的相似。包括空间点的相似和时间点的相似度量。,二、类与类的特征 1，类的定义 由于客观事物的千差万别，在不同问题中，类的含义是不尽相同的，给类下严格地定义是不容易的，有不同的定义。如：定义1：T为一给定的阈值，如果对任意的,，有,，则称G为一个类。,定义2：对阈值T，如果对于每一个,，有,，则称G为一个类。,定义3：对阈值T，如果对于每一个，,一定存在,使得,，则称G为
4、一个类。,2类的距离 由于类的形状是多种多样的，所以类与类之间的距离也有多种计算方法，设,中分别有l和m 个样品，它们之间的距离,用D(p,q)表示，常用定义有：,最短距离法：,即为,中最邻近的两个样品的距离。,2。最长距离法：,即为,中最远的两个样品的距离。,3.重心法：,它为两个类的重心,间的距离,4.类平均 法:,它等于,中所有任意两个样品距离的平均。,3.4 系统聚类法（逐级归并法）,系统聚类法是聚类分析中使用最多的方法，其基本思路是：先将n个样品各自看成一类，然后规定样品之间的距离(或相似系数）和类与类之间的距离，开始，将每个样品各自成一类，根据距离选择最相似的一对并成一个新类，计算
5、新类与其他类的距离，再将距离最近的两类合并，依次下去，直至所有样品并成一类，或各类之间的距离大于给定阈值T为止。,包含步骤(1)计算n个样品两两间的距离dij(2)构造n个类，每类只包含一个样品(3)合并距离最近（最相似）的两类为一个新类(4)定义类间距离，计算新类与当前各类的距离。若类的个数等于1，转到（5）。否则回到步骤（3）。(5)画聚类图(6)决定类的个数和类,使用不同的类间距离，便得到不同的系统聚类法。如最短距离法、最长距离法、重心法等。,一、最短距离法例 对同量纲指标x1和x2进行八次观测得各样品数据如下,试以最短距离法将其分类。,解：x1和x2为同量纲，无需标准化,采用欧氏距离,
6、1、计算距离，如d1,3,得距离阵：,D(0),、计算新类与其他类的距离,Gk,Gp,Gq,Gr,例如:,2、定义类间距离,在()中，,即G3，G4 和G6，G7最为相似。故将G3，G4 并成G9G6，G7并为G10,合并最相似两类Gr=Gp,Gq,删除p，q行和列，加上r行和列 得D（1）,4、在D（1）中，D5,10=1.4是最小值，将G5和G10并成G11，进一步计算D（2）,在（2）中，D1,2,D2,9=2是最小元素，将G1,G2,G9合并为新类G12。计算新类与各类的距离：,得D(3)，其中D11，12=4.1为最小元素，合并G11，G12 为G13,D(3),D13,8=5.1最
7、后G13，G8并成一类G14,5、画聚类图绘制各次聚类结果。若选择T=3.0,从图可见，1，2，3，4合并一类，5，6，7并成一类，8自成一类，全部样品分成三类为宜。,最长距离法、重心法等其他系统聚类法的步骤相同，仅在计算类间距离时的定义不同。最短距离法也可用于变量的分类，分类指标也可用相似系数，在用相似系数时，要找相似系数最大的两类合并，即总是最相似的两类合并。下面看一实例：,例，某地用4个因子表示气候闷热状况，分别是 x1:日平均温度 x2:14时气温 x3:14时相对湿度 x4:日最低气温 试根据下表所列相似系数将因子分类,解：G1和G2的相似系数最大，R1，2=max，表明两者最接近，先将它们并成G5。计算G5与G3，G4的相似系数分别为：,R（1）中，R4，5=0.69=max，将G4,G5并成G6,G3与G6变化趋势相反，并成一类无意义，聚类结束,聚类结果中，x1,x2,x4表示温度状态，自然成为一类，而x3是空气湿度因子，物理上属于另一类。,逐步聚类法,略,
