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1、第4章 虚功原理与结构位移计算,第4章 虚功原理与结构位移计算,4.1 概 述,4.2 外力虚功与虚变形功,4.3 变形体的虚功原理,4.4 虚功原理的应用,4.6 荷载作用下结构的位移计算,4.5 结构位移计算的一般公式,4.7 图乘法计算结构的位移,4.8 支座移动时静定结构的位移计算,4.9 温度改变时静定结构的位移计算,4.10 线性变形体系的互等定理,一、结构的变形与位移,变形结构原有形状的改变。,位移结构上各点的移动和杆件截面的转动。,线位移、角位移、相对线位移、相对角位移等统称为广义位移。,线位移,角位移,相对线位移,相对角位移,4.1 概 述,二、位移产生的原因,刚度校核的需要
2、,吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。,最大层间位移 1/800 层高。,施工的要求,荷载作用、温度变化、支座移动等各种外部作用。,三、结构位移计算的目的,4.1 概 述,四、本章位移计算的基本假设,线弹性 小变形,线性变形体系位移与荷载成比例的体系。,叠加原理适用,位移计算的理论基础虚功原理,位移与荷载成比例,超静定结构分析以及结构动力分析、稳定分析等的基础。,三、结构位移计算的目的,刚度校核的需要,施工的要求,4.1 概 述,4.2 外力虚功与虚变形功,一、实功与虚功,a,功力与沿力的方向的位移的乘积。,虚功广义力与广义位移无关时所作的功。,实功广
3、义力在自身所产生的位移上所作的功。,实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。,广义力功的表达式中，与广义位移相对应的项。,实功计算和虚功计算具有不同的性质：,二、结构的外力虚功,静力状态（k状态）作功的力所处的状态。,位移状态（m状态）作功的位移所处的状态。,结构的外力虚功静力状态中结构的所有外力（包括荷载与支座反力）在位移状态中相应位移上所作的功。,FPk静力状态中结构在k处所方向所受的广义力。,Dkm位移状态中结构与FPk相应的广义位移。,4.2 外力虚功与虚变形功,1）集中力的虚功,2）集中力偶的虚功,4.2 外力虚功与虚变形功,3）分布力的虚功,q均匀分布,4.2 外力虚功与虚变
4、形功,4）等量反向共面二力偶的虚功,4.2 外力虚功与虚变形功,5）等量反向共线二集中力的虚功,4.2 外力虚功与虚变形功,三、结构的虚变形功,4.2 外力虚功与虚变形功,三、结构的虚变形功,4.2 外力虚功与虚变形功,三、结构的虚变形功,微段静力状态中截面内力在位移状态的形变位移上所作的虚功为：,静力状态k,位移状态m,4.2 外力虚功与虚变形功,三、结构的虚变形功,静力状态k,位移状态m,略去二阶微量得,4.2 外力虚功与虚变形功,三、结构的虚变形功,对第i杆件，该虚功为：,对整个杆系结构，该虚功为：,结构的虚变形功,静力平衡状态微段横截面上的结构内力在位移状态中相应形变位移上所作的虚功之
5、总和。,4.2 外力虚功与虚变形功,结构的虚变形功静力平衡状态微段横截面上的结构内力在位移状态中相应形变位移上所作的虚功之总和。,结构的外力虚功静力状态中结构的所有外力（包括荷载与支座反力）在位移状态中相应位移上所作的功。,4.2 外力虚功与虚变形功,一、虚功原理,位移协调系：在结构的边界和内部都必须是分段光滑连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。(位移状态m),静力平衡系：满足结构整体和局部平衡条件以及静力边界条件，并遵循作用和反作用定律的力系。(静力状态k),虚功原理：设一变形体系，存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调系，让静力平衡系中的力在位移协调系中的位移上作功，则体系的
6、总外力虚功恒等于体系的总虚变形功。,W=U,外力虚功,虚变形功,4.3 变形体的虚功原理,杆系结构的虚功方程,一、虚功原理,FPk、FNk、FQk、Mk静力平衡系中的外力和内力。,Dkm、em、gm、位移协调系中的位移与变形。,其中：,可以单根直杆为例加以证明,4.3 变形体的虚功原理,二、虚功原理的讨论,(1)虚功原理实际上综合反映了静力平衡条件（平衡方程）和变形协调条件（几何方程）。,(2)适用线性、非线性、小变形问题；只要求力系是平衡的，位移系是协调且微小的。,(3)静力平衡系和位移协调系是彼此独立无关的。,应用二：虚设力系，利用虚功原理解决真实位移系的几何问题（求未知位移）。,应用一：
7、虚设位移系，利用虚功原理解决真实力系的平衡问题（求未知力）。,4.3 变形体的虚功原理,杆系结构的虚功方程,一、虚位移原理与单位位移法,力系真实的,位移系虚拟的,虚位移原理：变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是：对任意虚拟的位移协调系(即虚位移)，让力系中的力经位移系中的位移作虚功，则外力虚功恒等于变形体系的虚变形功。,4.4 虚功原理的应用,单位位移法,求解步骤：(1)解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态；(2)沿所求约束力的方向给以一单位虚位移，得m状态；(3)由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。,杆系结构的虚功方程,一、虚位移原理与单位位移法,力系真实的,位移系虚拟的,
8、4.4 虚功原理的应用,解：1、求支座反力FRD,静力状态k,虚位移状态m,（1）解除支座D，代之以约束力FRD，得静力状态k。,（2）沿FRD方向给一单位虚位移DDm=1，得虚位移状态k。,（3）建立虚功方程,FRD10,FRD0,U=0？,例：用单位位移法求支座D的反力和截面E的弯矩。,4.4 虚功原理的应用,解：2、求截面E的弯矩ME,静力状态k,虚位移状态m,（1）将截面E换成铰，解除抗弯约束，代之以约束力ME，得静力状态k。,（2）沿ME正方向给一单位虚位移（相对转角）qEm=1，得虚位移状态k。,（3）建立虚功方程,U=0,4.4 虚功原理的应用,杆系结构的虚功方程,4.4 虚功原
9、理的应用,二、虚力原理与单位荷载法,虚力原理：变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的必要与充分条件是：对任意虚拟的静力平衡系，让力系中的力经位移系中的位移作虚功，则外力虚功恒等于变形体系的虚变形功。,位移系真实的,力系虚拟的,单位荷载法,求解步骤：(1)沿所要求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k；(2)根据虚拟静力状态k与实际位移状态m，由虚力原理建立虚功方程，计算所要求位移。,杆系结构的虚功方程,二、虚力原理与单位荷载法,位移系真实的,力系虚拟的,4.4 虚功原理的应用,解：,虚力状态k,位移状态m,（1）虚设一竖向单位力FPC=1作用于铰C，得虚力状态k。,（2）建立虚功方程,
10、U0,例：用单位荷载法求图示两跨静定梁由于支座B向下移动 时，中间铰结点C的竖向位移。,4.4 虚功原理的应用,4.5 结构位移计算的一般公式,虚功方程为：,位移状态m,虚力状态k,一般公式的普遍性表现在：,2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；,1.位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；,3.材料性质：线弹性、非线弹性；,4.变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；,5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。,4.5 结构位移计算的一般公式,4.6 荷载作用下结构的位移计算,对线弹性结构，有,轴力项,剪力项,弯矩项,这里，l是切应力不均匀系数，对矩形截
11、面l=6/5；圆形截面l=10/9,例1 求刚架A点的竖向位移。,解：,位移状态m,分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图），如：,虚力状态k,构造虚力状态k,4.6 荷载作用下结构的位移计算,荷载内力图,单位内力图,轴力 以拉力为正；,剪力 使微段顺时针转动者为正；,弯矩 使杆件同侧纤维受拉时，正负号相同。,4.6 荷载作用下结构的位移计算,轴力项,剪力项,弯矩项,引入符号,将内力方程代入公式,，有：,讨论：,记，,4.6 荷载作用下结构的位移计算,问题：的取值范围是什么？,设杆件截面为 bh 的矩形截面杆，有：,取，有：,4.6 荷载作用下结构的位移计算,因此，对受弯细长
12、杆件,通常略去FN,FQ的影响。,取，则：,即：,4.6 荷载作用下结构的位移计算,一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。,1.对梁和刚架：,2.对桁架：,3.对组合结构：,受弯杆,拉压杆,4.6 荷载作用下结构的位移计算,例2 求图示四分之一圆弧曲梁自由端的角位移与线位移。,解：1、角位移,位移状态m,（2）列弯矩方程,虚力状态k,（1）构造虚力状态,（3）计算位移,4.6 荷载作用下结构的位移计算,2、竖向线位移,位移状态m,（2）列弯矩方程,虚力状态k,（1）构造虚力状态,（3）计算位移,4.6 荷载作用下结构的位移计算,3、水平线位移,位移状态m,（2）列弯矩方程,虚力状态k,（1
13、）构造虚力状态,（3）计算位移,自由端总的线位移,4.6 荷载作用下结构的位移计算,例 3：求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移。设E=2100kN/cm2，右半部分杆旁数值为杆的横截面积A（cm2）。,解：,位移状态m,虚力状态k,实际荷载作用下的状态为位移状态m；,FNP(kN),桁架位移计算公式,计算桁架在实际荷载和虚单位力作用下的轴力FNP和,构造虚力状态k,4.6 荷载作用下结构的位移计算,例:1)求A点水平位移,所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.,讨论：虚力状态（单位力状态）的确定,2)求A截面转角,3)求AB两点相对水平位移,4)求AB两
14、截面相对转角,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,FPk=1,讨论：虚力状态（单位力状态）的确定,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,讨论：虚力状态（单位力状态）的确定,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,讨论：虚力状态（单位力状态）的确定,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,讨论：虚力状态（单位力状态）的确定,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,讨论：虚力状态（单位力状态）的确定,4.7 图乘法计算结构的位移,1、均质等截面直杆；,2、位移状态内力图（荷载内力图）与静力状态内力图（单位内力图）中，至少有一个图形是直线变化。,若以上两个条件满足，则可将位移计算公式中的积分计算换成用内
15、力图的一些相关量相乘来计算。,图乘法,Sy,4.7 图乘法计算结构的位移,荷载作用下位移计算公式,必须注意适用条件,1、均质等截面直杆；2、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是直线变化。,4.7 图乘法计算结构的位移,几种常见图形的面积与形心位置（熟记）,4.7 图乘法计算结构的位移,几种常见图形的面积与形心位置（熟记）,切点指曲线在该点的切线与基线重合或平行,4.7 图乘法计算结构的位移,“标准抛物线”,几种常见图形的面积与形心位置（熟记）,4.7 图乘法计算结构的位移,简单图形相乘结果（熟记）,4.7 图乘法计算结构的位移,简单图形相乘结果（熟记）,4.7 图乘法计算结构的位移,图乘
16、法应用中注意点,注意应用条件；,面积W为曲线图形的面积，坐标yc取自直线图形，而且是W的形心所对应的竖标；,当W与yc在杆轴同侧时，相乘结果为正，异侧相乘结果为负。（对剪力图和轴力图则是同号为正、异号为负）,两图形相乘后要除以杆段的相应刚度。,若直线图形是由若干个直线段组成，则相乘时应分段图乘。,复杂图形可分为几个简单图形的叠加。,4.7 图乘法计算结构的位移,4.7 图乘法计算结构的位移,4.7 图乘法计算结构的位移,解：1、求DCy,对吗？,例 1.设 EI 为常数，求 和。,（1）建立静力状态,（2）作荷载内力图和单位荷载内力图,（3）图乘,应分段！,4.7 图乘法计算结构的位移,2、求
17、qB,（1）建立静力状态,（2）作荷载内力图和单位荷载内力图,（3）图乘,4.7 图乘法计算结构的位移,例2 已知AB和BC的截面惯性矩分别为I和1.2I，求图示刚架在荷载作用下C点的水平位移DCP。,解：1、建立虚力状态,2、作MP图、图,4.7 图乘法计算结构的位移,2、作MP图、图,4.7 图乘法计算结构的位移,2、作MP图、图,3、图乘,4.7 图乘法计算结构的位移,4.7 图乘法计算结构的位移,例 3.已知 EI、EA为常数，求。,解：1、建立虚力状态,3、图乘,4.7 图乘法计算结构的位移,3、图乘,4.7 图乘法计算结构的位移,例 4.已知 EI 为常数，求。,解：1、建立虚力状
18、态,2、作MP图、图,3、图乘,4.7 图乘法计算结构的位移,一种算法,结果正确否？,4.7 图乘法计算结构的位移,解法一,4.7 图乘法计算结构的位移,解法二,4.7 图乘法计算结构的位移,静定结构中支座移动不产生内力和变形，只有刚体位移。,4.8 支座移动时静定结构位移计算,即：,所以,其中，为虚力状态的支座反力，以与cim方向相同为正。,例：图示结构，若支座B发生水平移动，即B点向右移动一间距a，试求铰C左、右两截面的相对转角j。,解：,（2）求虚力状态的支座反力,（3）计算位移,位移状态m,虚力状态k,（1）建立虚力状态,4.8 支座移动时静定结构位移计算,4.9 温度改变时静定结构位
19、移计算,静定结构中温度改变不产生内力，但材料的自由膨胀或收缩将引起变形和位移。,已知杆件上、下边缘的温度变化为t1、t2，设温度沿杆件截面高度按线性分布，则,上、下边缘的温差为：,杆轴温度为：,矩形横截面,温度变化时，微段的形变位移为：,线膨胀系数,由于温度变化时不引起切应变，故：,代入公式，,可得,4.9 温度改变时静定结构位移计算,图面积,图面积,等截面直杆,沿杆长温度变化相同,4.9 温度改变时静定结构位移计算,正、负号规定：,1、温度变化t1、t2以升高为正；,对梁和刚架：,对 桁 架：,几种情况：,2、轴力 以拉为正；,3、弯矩 以使t2侧受拉为正。,温度引起的轴向变形影响不能少。,
20、4.9 温度改变时静定结构位移计算,例：图示结构，外侧温度升高t1=+10，内侧温度升高t2=+20，线膨胀系数a=12010-7/，矩形截面高度h=20cm，求C点的竖向位移。,解：（1）建立虚力状态,（2）作、图,4.9 温度改变时静定结构位移计算,解：（1）建立虚力状态,（3）计算位移,（2）作、图,t0=15，Dt=10,（）,4.9 温度改变时静定结构位移计算,4.10 线性变形体系的互等定理,状态：内力FN1、FQ1、M1，变形,状态：内力FN2、FQ2、M2，变形,以 状态为静力状态，状态为位移状态，由虚功原理,1、虚功互等定理,以 状态为静力状态，状态 为位移状态,对线性变形体
21、，有,4.10 线性变形体系的互等定理,在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。,虚功互等定理,4.10 线性变形体系的互等定理,状态、状态都只受一个单位力作用,由虚功互等定理，得,2、位移互等定理,在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移。,位移互等定理,4.10 线性变形体系的互等定理,状态：支座1发生单位位移,由虚功互等定理，得,3、反力互等定理,在线性变形体系中，支座1由于支座2发生单位位移所引起的反力，恒等于支座2由于支座1发生单位位移所引起的
22、反力。,反力互等定理,状态：支座2发生单位位移,4.10 线性变形体系的互等定理,状态：只受单位力FP2=1作用，设在支座1引起约束反力k12,由虚功互等定理，得,4、反力位移互等定理,在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相应的位移，但符号相反。,反力位移互等定理,状态：支座1发生与k12相应的单位位移，设产生与FP2相应的位移d21,4.10 线性变形体系的互等定理,(a),(b),利用虚功互等定理，有,(),再利用平衡条件，可得,4.10 线性变形体系的互等定理,FP1在D11上所作的功为实功,FP1在D12上所作的功为虚功,静力状态k,位移状态m,虚功方程,考察静力平衡系,静力边界条件为：,取微段dx，受力如图,略去二阶以上微量后，得静力平衡方程,考察位移协调系,位移边界条件为：,取微段dx，变形如图,位移协调方程（几何方程）为,由静力平衡方程得,W,U,若从变形协调条件(几何方程)出发也可导出虚功方程,再利用边界条件和静力平衡方程即可导出虚功方程。,自行推导！,
