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1、1,8.6多元函数极值与最值,一、多元函数的极值与最值二、条件极值三、最小二乘法*,2,二元函数极值的定义,设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)：若满足不等式f(x,y)f(x0,y0),则称函数在(x0,y0)有极小值。极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点,3,二元函数极值示例,示例1.,(1),示例2.,(2),示例3.,(3),4,多元函数取极值的必要条件,定理(必要条件):设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)偏导数都存在,若其在点(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零：,证:,证:同样地
2、,多元函数都有类似性质。,5,驻点与极值点,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,6,多元函数取极值的充分条件,定理(充分条件):设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续、存在二阶连续偏导数,且,记,则f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的条件如下：,（1）,时具有极值,（3）,当A0时有极小值;,（2）,时没有极值;,不能确定,还需另作讨论。,7,多元函数求极值的一般步骤,第一步：解方程组,求出实数解,得驻点;,第二步：计算二阶偏导,第三步：对每个驻点,分别计算A、B、C;,第四步：对每个
3、驻点,确定=B2-AC以及A或C,的符号,再判断是否有极值。,8,例题与讲解,例:求函数z=(2ax-x2)(2by-y2)的极值,其中a,b为非零常数。解：由极值必要条件：,可解得驻点：(a,b),(0,0),(0,2b),(2a,0),(2a,2b),因为：,对驻点(a,b),有,由充分条件知,点(a,b)为极大值点,极大值为z(a,b)=a2b2,对驻点(0,0),有,故,点(0,0)不是极值点。,类似可验证,点(0,2b),(2a,0),(2a,2b)都不是极值点。,9,课堂练习,385页16.（2）,10,例题与讲解*,例：求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的隐
4、函数z=f(x,y)的极值。,解：,故z=f(1,-1)=6为极大值.,11,多元函数的最值,与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。求最值的一般方法：将函数在定义区域D内所有驻点处的函数值以及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。特殊方法：区域D内只有唯一驻点且为极值点,即为相应的最值点。根据实际意义、实际经验判断是否为最值。,12,例题与讲解（选讲）,例：求二元函数z=x2y(4-x-y)在直线x+y=6，x轴和y轴所围成闭区域D上的最大值与最小值。,解：,先求函数在D内的驻点，,解方程,比较后可知,f(2,1)=4为最大值
5、,f(4,2)=-64为最小值,13,例题与讲解（重点）,例：某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位,利润函数为：L=64-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利润。,解：由极值的必要条件,解得唯一驻点(40,24).,由,可知,唯一驻点(40,24)为极大值点,亦即最大值点。,最大值为：L(40,24)=1650,答：两产品产量分别为40单位和24单位时,利润最大,最大利润为1650单位。,14,例题与讲解,例：已知某产品的需求函数为Q=200000p-1.5x0.1y0.3,其中Q为需求量,p为价格,x为广告费,y为推销费,若产品的可变成本为25元/件,固定成本(不含x,y)为8
6、000元。求最佳经营时的价格、广告费和推销费。,解：利润函数为,最佳经营时,应是总利润最大，故,唯一驻点：,p=75,x355554,y1066662,15,例题与讲解*,例：求,的最大值和最小值。,解：,由,故,边界上的值为零;而,所以,最大值为：,最小值为：,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，,再无其他条件限制。,16,条件极值,条件极值：对自变量有附加条件的极值。引例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带,设他购买x张磁盘,y盒录音磁带达到最佳效果,效果函数为U(x,y)=lnx+lny。设每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何分配这200元以达到最
7、佳效果。问题的实质：求U(x,y)=lnx+lny在条件8x+10y=200下的极值点。,17,条件极值的求解思路,条件极值问题：求z=f(x,y)在条件(x,y)=0限制下的极值。求解思路：将条件(x,y)=0代入目标函数z=f(x,y)内,再对其求无条件极值（注意,此时z=f(x,y)内的y是x的隐函数）：,即,令,代入,得,解决上述条件极值问题,即为求满足下列条件的(x0,y0),可看作z=f(x,y)+(x,y)的,无条件极值点,(x0,y0,0),18,拉格朗日乘数法,拉格朗日函数：称F(x,y,)=f(x,y)+(x,y)为函数z=f(x,y)在条件(x,y)=0限制下的条件极值问
8、题的拉格朗日函数,待定常数称拉格朗日乘数。拉格朗日乘数法：求条件极值问题时,先构造其拉格朗日函数,再求出其拉格朗日函数的无条件极值点,其中除拉格朗日乘数以外的坐标值就可能是条件极值点的坐标值。,19,拉格朗日乘数法推广示例,拉格朗日乘数法可推广到更多自变量以及更多条件限制的条件极值情形中。如：求函数u=f(x,y,z,t)在条件(x,y,z,t)=0和(x,y,z,t)=0下的条件极值。可构造拉格朗日函数：F(x,y,z,t,)=f(x,y,z,t)+(x,y,z,t)+(x,y,z,t)然后求F(x,y,z,t,)的无条件极值。,20,例题与讲解,例：将正数12分成三个正数x、y、z之和,并
9、使U=x3y2z最大。,解：,则,21,例题与讲解,例：某厂生产A、B两产品,产量分别为x和y(单位:千件),利润函数为L=6x-x2+16y-4y2-2(单位:万元);已知生产这两产品时,每千件消耗某原料2000公斤,现有该原料12000公斤,问两产品各生产多少,总利润最大？,解：,条件极值问题,拉格朗日函数,令,解得唯一驻点：,由实际意义可知,最大值为,答：当A生产3.8千件,B生产2.2千件时,利润最大,最大,利润为36.72万元。,22,小结,多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值条件极值（拉格朗日乘数法）,23,课堂练习1(条件极值),例：某公司拟用甲、乙两个厂
10、生产的同一种产品，若用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂的产量，其总成本函数为C=X2+3Y2-XY求该公司在生产总量为30单位时使得总成本最低的产量？解：目标函数C=X2+3Y2-XY约束条件X+Y=30（即X+Y-30=0）,24,课堂练习1(续),25,课堂练习2(条件极值),设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函数，f(x,y)=60 x y,若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入30000元资金用于生产情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多？解：目标函数f(x,y)=60 x y 约束条件 x+2y=300（即x+2y-300=0）,26,课堂练习2(续),27,练习,
11、28,练习解答,29,练习解答,30,练习解答,31,练习解答,32,三、最小二乘法,实际背景：在实际中，经常要研究某一现象与影响它的某一最主要 因素的统计思想1：收入对消费的影响；2：施肥量对水稻产量的影响；3：广告对销售量的影响；4：天气对旷课率的影响；5：玩游戏对学习成绩的影响；6：能源短缺对矿井坍塌的影响；7：连宋大陆行对和平统一的影响,33,步骤(一元线性回归模型),1：收集数据：n个样本点(x1,y1),(x2,y2),(x n,y n).即(x i,y i),i=1,2,n.2:散点图scatter,34,步骤(续),3：观察散点图，变量x,y具有明显的线性关系。故经过这些样本点
12、画一条适当的直线。A better procedure is to find the best straight line using a criterion that,for a given set of data,produces the same line regardless of the person doing the fitting.,35,一元线性回归模型,y=0+1x+Y称为被解释变量，x称为解释变量表示除x外，影响y的其他一切因素.（error,disturbance）是不可观测的，称为随机误差项或随机干扰项y与x之间的关系用两部分来描述:a.一部分0+1x，由x的变化引起
13、y变化b.另一部分，由除x外的其他一切因素引起y变化1称为回归系数(slope)0 称为回归常数（intercept）,36,OLSE,参数0，1的估计方法：普通最小二乘估计 OLSE(ordinary least square estimation)目的：利用样本数据得到0,1的理想估计值原则：使n个样本点最靠近回归直线例：随机抽样某地区5个家庭的年收入x与年消费y（千元）的资料如表：,37,散点图,38,直观意义,要使样本点最靠近回归直线，考虑观测值y i 与回归值（即平均值）E(y i|xi)=0+1xi的离差的平方和思考:为什么不考虑(y i-E(y i)，及|y i E(y i)|?
14、,39,最小二乘法名称的由来,样本点最靠近回归直线，就是使离差平方和最小。,40,续,所谓的最小二乘法，就是寻找参数0，1的估计值，使定义的离差平方和达到极小,41,最小二乘估计公式的推导,利用二元微积分求极值的知识知：作为极值问题解的必要条件是：在 取值时，Q(0，1)关于0，1的偏导数必须为0：,以上方程组称为first order conditions(FOC),42,推导(续),利用克莱姆法则，得出普通最小二乘估计（OLSE:ordinary least square estimators）,正则方程Normal equations:,43,用excel计算,Excel 1:用average,devsq函数一步一步的操作得到估计值,Excel 2:用slope,intercept,linest直接求,具体操作见excel,
