《求极值及解线性规划问题命令与.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求极值及解线性规划问题命令与.ppt（15页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、求极值及解线性规划问题命令与例题,7.1求函数的局部极值,Mathematica求函数局部极小值的一般形式为:FindMinimum 目标函数,自变量名1，初始值1,自变量名2，初始值2,具体的拟合命令有:命令形式1：FindMinimum fx,x,x0功能：以 x0为初值,求一元函数f(x)在x0附近的局部极小值。命令形式2：FindMinimum fx,x,x0,x1功能：以 x0和x1为初值，求一元函数f(x)在它们附近的局部极小值。这可以避免求导困难。命令形式3：FindMinimum fx,x,x0,xmin,xmax 功能：以 x0为初值,求一元函数f(x)在x0附近的局部极小值
2、,如果中途计算超出自变量范围xmin,xmax,则终止计算。命令形式4：FindMinimum fx,y,.,x,x0,y,y0,功能：以点(x0,y0,)为初值,求多元函数f(x,y,)在(x0,y0,)附近的局部极小值,例1:求函数y=3x4-5x2+x-1,在-2,2的极大值、极小值和最大值、最小值。解:先画出函数图形，再确定求极值的初值和命令。Mathematica 命令为:In1:=Plot3x4-5x2+x-1,x,-2,2 从图中看到函数在-1和1附近有两个极小值点，在0附近有一个极大值点，用Mathematica 命令求之：In2:=FindMinimum3x4-5x2+x-1
3、,x,1Out2=-2.19701,x-0.858028 In3:=FindMinimum3x4-5x2+x-1,x,-1Out3=-4.01997,x-0.959273 In4:=FindMinimum-(3x4-5x2+x-1),x,0Out4=0.949693,x-0.101245 In5:=3x4-5x2+x-1/.x-2 In6:=3x4-5x2+x-1/.x-2 故所求函数在-2,2的x=2处取得最大值29,在x=-0.959273处取得最小值为-4.01997,例2:求函数z=(e2x)(x+y2+2y)，在区间-1,1-2,1内的极值。解:本题限制了求极值的范围，为确定初值，借
4、助等高线图Mathematica命令为In7:=ContourPlot(画等高线)Exp2x*(x+y2+2y),x,-1,1,y,-2,1,Contours-20,ContourShading（去掉图中的阴影）-False,PlotPoints-30从图中可知函数在（0.45,-1.2）可能有极值，取x0=0.45，y0=-1.1,再用求极值命令In8:=FindMinimumExp2x*(x+y2+2y),x,0.45,y,-1.1Out8=-1.35914,x-0.5,y-1.求得函数在 x=0.5,，y=-1取得极小值-1.35914。,例3:求函数f(x,y,z)=x4+siny-c
5、osz,在点（0，5，4）附近的极小值。解:In9:=FindMinimumx4+SinyCosz,x,0,y,5,z,4 Out9=-2.,x-0.,y-4.71239,z-6.28319故函数在（0,4.71239,6.28319）取得极小值-2。,Mathematica求函数局部极大值的一般形式为:FindMaximum 目标函数,自变量名1，初始值1,自变量名2，初始值2,具体的拟合命令与FindMinimum函数类似。,应当强调，当函数有多个极值点时，需要适当选择极值点。FindMinimum(x-1)2(x-2)2(x-4)2,x,0.2FindMinimum(x-1)2(x-2)
6、2(x-4)2,x,1.6FindMinimum(x-1)2(x-2)2(x-4)2,x,5FindMinimum(x-1)2(x-2)2(x-4)2,x,3.6通过求导计算可知函数有3个极小值点，分别是1、2、4。不过由第3个式子可以发现选择初始点为5时并没有找到离它最近的极小值点4。,7.2 解线性规划问题,线性规划是运筹学的一个重要分支，应用很广。线性规划问题可以描述为求一组非负变量，这些非负变量在满足一定线性约束的条件下，使一个线性目标函数取得极小（大）值的问题，线性规划的标准形式为：目标函数：min S=c 1x 1+c 2x 2+c n x n a11 x 1+a12 x 2+.+
7、a1n x n=b 1 a21 x 1+a22 x 2+.+a2n x n=b2约束条件：.a m1x 1+a m2x 2+.+a mn x n=b m x 1,x 2,x n 0这里x 1,x 2,x n 是变量，c i,aij,bi都是已知常数，且bi 0，约束条件常用符号:s.t.表示。,线性规划的一般形式为：目标函数：min S=c 1x 1+c 2x 2+c n x n a11 x 1+a12 x 2+.+a1n x n b 1 a21 x 1+a22 x 2+.+a2n x n b2约束条件：.a m1x 1+a m2x 2+.+a mn x n b m 式中符号“”可以是关系符号
8、：,=,中的任意一个。Mathematica解一般线性规划问题的命令形式有:具体的拟合命令有:命令形式1：ConstrainedMin f,inequalities,x1,x2,功能：求在给定约束条件inequalities下，线性目标函数f极小值和对应的极小点。命令形式2：ConstrainedMax f,inequalities,x1,x2,功能：求在给定约束条件inequalities下，线性目标函数f极大值和对应的极大点。,注意：,命令1结果形式为：极小值,自变量1-极小值点1，自变量2-极小值点2，。命令2结果形式为：极大值,自变量1-极大值点1，自变量2-极大值点2，。上面命令中的
9、f为线性规划中的目标函数,它必须是变量x1,x2,的线性函数。上面命令中的inequalities为线性规划中的约束不等式组,每个关系式必须用逗号分隔。上面命令中的x1,x2,线性规划中的自变量名称,它们必须取非负值且可以用其它符号名。,例4:求线性规划问题 MaxS=17x 1-20 x 2+18 x 3 x 1-x 2+x 3 20,x1,x2,x3Out10=160,x1-0,x2-10,x3-20计算结果可得所求目标函数极大值为160，对应的极大值点为（0，10，20）。,例5:求线性规划问题 Min m=13x-y+5z x+y=7,s.t.y+z 2,y0,z0 解:Mathema
10、tica 命令为:In11:=ConstrainedMin13x-y+5z,x+y=7,y+z2,y0,z0,x,y,z Out11=16,x-2,y-10,z-0计算结果可得所求目标函数极小值为16，对应的极小值点为（0，10，0）。,例6:现有三种食品A1,A2,A3,各含有两种营养成分B1,B2,每单位食物Ai含有Bj成分的数量及每种食物的单价如下表所示:问应如何选购食物,才能既满足对营养成分B1,B2的需要,又使费用最少？解:设购买食品A1,A2,A3的数量分别为 x 1,x 2,x 3,花费的费用为S,则本问题可以用以下的数学模型来描述：Min S=4x1+2x2+3x3 2x 1+
11、4x 3 5 s.t.2x 1+3x 2+x 3 4 x 1,x 2,x 3 0,用Mathematica 命令为:In12:=ConstrainedMax4x1+2x2+3x3,2x1+4x3=5,2x1+3x2+x3=4,x1=0,x2=0,x3=0,x1,x2,x3Out12=67/12,x1-0,x2-11/12,x3-5/4 计算结果显示购买11/12数量的食品A2,5/4数量的食品A3可以满足本问题的要求,此时的花费的费用为67/12。-例7:求线性规划问题 Min f=-x-3y-3z,3x+y+2z+v=5 s.t.x+z+2v+w=2 x+2z+u+2v=6 x,y,z,u,
12、v,w0解:Mathematica 命令为:In13:=ConstrainedMin-x-3y-3z,3x+y+2z+v=5,x+z+2v+w=2,x+2z+u+2v=6,x,y,z,u,v,w Out13=-15,x-0,y-5,z-0,u-6,v-0,w-2计算结果可得所求目标函数极小值为-15，对应的极小值点为(x,y,z,u,v,w)=(0,5,0,6,0,2）。,更常见的函数：LinearProgramming,该函数的一般形式为：LinearProgrammingc,m,b,l 其中b和l都是表。如果b是b1,s1,b2,s2,表示矩阵m的第i行mi满足条件：当si=1时，mix bi；当si=0时，mix=bi；当si=-1时，mix bi。如果l是 l1,l2,，则xi li；如果l是 u1,v1,u2,v2,，则 ui xi vi（上下界可取无穷）。例 LinearProgramming3,5,1,3,1,1,3,2 表示求函数3x+5y满足条件x+3y 3,x+y 2,x 0,y 0时的最小值点。,
