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1、第三章 习题课,板块一:不定积分的计算方法板块二:定积分的概念、性质及计算板块三:定积分应用,板块一,一、求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,一、求不定积分的基本方法,1.直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.,2.换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换:),3.分部积分法,使用原则:,1)由,易求出 v;,2),比,好求.,一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为,多次分部积分的 规 律,快速计算表格:,特别:当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便.,例1.求,解:,原式,例2.求,解:,原式
2、,分析:,例3.求,解:,原式,分部积分,例4.设,解:,令,求积分,即,而,例5.求,解:,例6.求,解:取,说明:此法特别适用于,如下类型的积分:,例7.设,证:,证明递推公式:,例8.求,解:,设,则,因,连续,得,得,利用,二、几种特殊类型的积分,1.一般积分方法,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.需要注意的问题,(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合,使用各种基本积分法,简便计算.,因此不一,定都能积出.,例如,例10.求,解:令,则,原式,例
3、11.求,解:令,比较同类项系数,故,原式,说明:此技巧适用于形为,的积分.,例12.,解：,因为,及,例13.,求不定积分,解:,原式,例14.,解:,I=,例15.求,解:,(n 为自然数),令,则,板块二,一、与定积分概念有关的问题的解法,二、有关定积分计算和证明的方法,定积分及其相关问题,一、与定积分概念有关的问题的解法,1.用定积分概念与性质求极限,2.用定积分性质估值,3.与变限积分有关的问题,例1.求,解:因为,时,所以,利用夹逼准则得,因为,依赖于,且,1)思考例1下列做法对吗?,利用积分中值定理,原式,不对!,说明:,2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.,解：将数列
4、适当放大和缩小，以简化成积分和：,已知,利用夹逼准则可知,例2.求,思考:,提示:由上题,故,练习:1.,求极限,解：,原式,2.求极限,提示：,原式,左边,=右边,例3.,估计下列积分值,解:因为,即,例4.证明,证:令,则,令,得,故,例5.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立.,明对于任何,例6.,提示：,且由方程,确定 y 是 x 的函数,求,方程两端对 x 求导,得,再令 x=1,得,再对 y 求导,得,故,例7.,求可微函数 f(x)使满足,解:等式两边对 x 求导,得,不妨设 f(x)0,则,
5、注意 f(0)=0,得,例8.求多项式 f(x)使它满足方程,解:令,则,代入原方程得,两边求导:,可见 f(x)应为二次多项式,设,代入 式比较同次幂系数,得,故,再求导:,二、有关定积分计算和证明的方法,1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2.注意特殊形式定积分的计算,3.利用各种积分技巧计算定积分,4.有关定积分命题的证明方法,思考:下列作法是否正确?,例9.求,解:令,则,原式,例10.求,解:,例11.选择一个常数 c,使,解:令,则,因为被积函数为奇函数,故选择 c 使,即,可使原式为 0.,例12.设,解:,例13.若,解:令,试证:,则,因为,对右端第二个积分令,综上所述,
6、例14.证明恒等式,证:令,则,因此,又,故所证等式成立.,例15.,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,至少存在一点,证明:令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0,从而不变号,因此,故所证等式成立.,故由罗尔定理知,存在一点,思考:本题能否用柯西中值定理证明?,如果能,怎样设辅助函数?,提示:,设辅助函数,例16.,设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,(1)在(a,b)内 f(x)0;,(2)在(a,b)内存在点,使,(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使,(03考研),证:(1),由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.,所以f(x),
7、在(a,b)内单调增,因此,(2)设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即,(3)因,在a,上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,例17.设,证:设,且,试证:,则,故 F(x)单调不减,即 成立.,板块三,1.定积分的应用,几何方面:,面积、,体积、,弧长、,表面积.,物理方面:,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2.基本方法:,微元分析法,微元形状:,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等.,转动惯量.,定积分的应用,例1.求抛物线,在(0,1)内的一条切线,使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解:设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x,y 轴的交点分别为
8、,所指面积,且为最小点.,故所求切线为,得 0,1 上的唯一驻点,例2.设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1)求函数,(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解:(1),由方程得,面积为 2,体积最小?,即,故得,又,(2)旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值.,例3.证明曲边扇形,绕极轴,证:先求,上微曲边扇形,绕极轴旋转而成的体积,体积微元,故,旋转而成的体积为,故所求旋转体体积为,例4.求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积.,解:曲线与直线的交点坐标为,曲线上任一点,到直线,的距离为,则,例5.半径为 R,密度为,的球沉入深为H(H 2 R)
9、,的水池底,水的密度,多少功?,解:,建立坐标系如图.,则对应,上球的薄片提到水面上的微功为,提出水面后的微功为,现将其从水池中取出,需做,微元体积,所受重力,上升高度,因此微功元素为,球从水中提出所做的功为,“偶倍奇零”,例6.设有半径为 R 的半球形容器如图.,(1)以每秒 a 升的速度向空容器中注水,求水深为,为h(0 h R)时水面上升的速度.,(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最,少应为多少?,解:过球心的纵截面建立坐标系如图.,则半圆方程为,设经过 t 秒容器内水深为h,(1)求,由题设,经过 t 秒后容器内的水量为,而高为 h 的球缺的体积为,半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成,体积元素:,故有,两边对 t 求导,得,at(升),(2)将满池水全部抽出所做的最少功,为将全部水提,对应于,微元体积:,微元的重力:,薄层所需的功元素,故所求功为,到池沿高度所需的功.,
