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1、参数区间估计,引言,前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.,若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.,实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.,也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.,湖中鱼数的真值,这里所说的“可靠程度”是用概率来
2、度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.,置信水平的大小是根据实际需要选定的.,例如，通常可取置信水平=0.95或0.9等.,教材已经给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义，为便于应用，这里我们再简要介绍一下.,在求置信区间时，要查表求分位数.,例如:,设0 1,对随机变量X，称满足,的点 为X的概率分布的上 分位数.,例如:,设0 1,对随机变量X，称满足,的点 为X的概率分布的上 分位数.,分布的上 分位数,自由度为n的,设0 1,对随机变量X，称满足,的点 为X的概率分布的上 分位数.,一、置信区间定义：,则称区间 是 的置信水平（置信度、置信概率）为 的置信区间.,可见，,即要求估
3、计尽量可靠.,可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.,N(0,1),选 的点估计为,二、置信区间的求法,明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？,解：,寻找一个待估参数和估计量的函数，要求其分布为已知.,有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.,对给定的置信水平,查正态分布表得,对于给定的置信水平(大概率),根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.,使,对给定的置信水平,查正态分布表得,使,从中解得,也可简记为,于是所求 的 置信区间为,从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:,1.明确问题,是求什么参数的置信区间
4、?,置信水平 是多少?,2.寻找参数 的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn),3.寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T,),且其分布为已知.,5.对“aS(T,)b”作等价变形,得到如下形式:,则 就是 的100()的置信区间.,而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.,这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.,教材上讨论了以下几种情形：,单个正态总体均值 和方差 的区间估计.,两个正态总体均值差 和方差比 的区间估计.,下面我们举几个例子说明其应
5、用方法.,统计三大分布回顾,记为,定义:设 相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为 n 的 分布.,分布是由正态分布派生出来的一种分布.,分布的密度函数为,T的密度函数为：,记为Tt(n).,2、t 分布,3、F分布,若XF(n1,n2)，X的概率密度为,定理 1(样本均值的分布),定理 2(样本方差的分布),定理 3,定理 4(两总体样本均值差的分布),定理 5(两总体样本方差比的分布),例2 已知某地区新生婴儿的体重X,随机抽查100个婴儿,得100个体重数据,X1,X2,X100,解：这是单总体均值和方差的估计,已知,先求均值 的区间估计.,因方差未知
6、，取,对给定的置信度,确定分位数,使,即,从中解得,取,从中解得,再求方差 的置信水平为 的区间估计.,需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的.,对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.,由标准正态分布表，对任意a、b，我们可以求得P(aUb).,N(0,1),由 P(-1.75U2.33)=0.95,这个区间比前面一个要长一些.,我们总是希望置信区间尽可能短.,类似地，我们可得到若干个不同的置信区间.,任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.,在概率密度为单峰且对称的情形，当a=-b时求得的置信区间的长度为最短.,a=-b,
7、即使在概率密度不对称的情形，如 分布，F分布，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.,我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于1的置信区间，并且置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长.,也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差.这是一对矛盾.,实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些.,例3 某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为0.95）.,解：,设每天职工的总医疗费为X，,近似服从正态分布,大样本，由中心极限定理，,E(X)=,
8、D(X)=,未知，用样本标准差S近似代替.,取枢轴量,近似N(0,1)分布,对给定的置信水平,确定分位数,使,得均值 的置信水平为 的区间估计为,得均值 的置信水平为 的区间估计为,三、单侧置信区间,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.,这时，可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.,于是引入单侧置信区间和置信限的定义：,又若统计量 满足,由于方差 未知，取枢轴量,解：的点估计取为样本均值,对给定的置信水平，确定分位数,使,即,于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为,将样本值代入得,的置信水平为0.95的单侧置信下限是,1065小时,
